统的极限，而内在转换的发生，也不要求有任何外部元素的出现。在说明守恒的最常见的一种论据中，被试只是说，同一个集合体或客体在从A状态改变为B状态时，它的数量保持不变，因为“没有加上什么也没有去掉什么”，或者简单他说：“因为东西还是原来的东西”。很清楚，我们在这里讨论的不再是前一水平所特有的质的同一性。（理由很简单，质的同一性并不需要量的相等或守恒。）所以，用“群”的术语来说，所涉及的是同一性这个算子＋0，而这个算子仅在一个系统之内才有意义。在说明守恒的第二类论据中，从A到B守恒的理由是，人们能够把B状态回复到A状态（由反演产生的可逆性）。这又是一个系统内部的运演问题，在前一水平上，儿童有时也承认B状态实际上可能复回到A状态，但是，这并不必然有名副其实的守恒。在第三类论据中，被试说，因为客体虽然加长了，但又变窄了，所以数量没有变（或者说，这个集合体虽然分散占了更多的空间，可是它们之间的距离却不那么密了）。被试有时也说，两个变化中的一个补偿了另一个（由关系的互反产生的可逆性）。在这些场合，这就更为清楚，儿童是从一个有系统而且自身闭合的整体来进行思惟的。他并不进行量度以估计所发生的变化，他只是。先验地以一种纯粹演绎的方式对变化的补偿作用作出判断，这暗含着整个系统的不变性这一初步假设。
这是个相当大的进展，就其逻辑方面来说，它标志着具体运演阶段的开始。向作为先后两个水平之间的分界线的极限（如我们所说过的）的过渡是复杂的，实际上包含了三个互相联系着的方面。第一方面是使高级结构从低级结构中产生出来的反身抽象。例如：作为序列化的基础的排列顺序，是从经验上的两个一对、三个一组和顺序排列等建构中早已出现的局部的序列化中演化出来的；运演性分类所特有的组合是从形象性的集合和形成前运演概念所根据的局部组合中演化出来的，等等。第二方面是协调，这种协调是朝向系统整体的，因而是倾向于通过把这些分散的顺序或局部的联合等等联结起来以产生出系统的闭合。第三方面是这种协调过程所特有的自我调节。它使系统的联结就正反两方面而言达到平衡。换句话说，平衡的获得是极限过程的突出特征，同时也是使这些系统具有独特的，有异于以前的新特征的原因，特别是运演可逆性的原因。
这些不同的方面，也可以从儿童根据归类和顺序关系综合整数概念这一过程中再次分析出来。一个有数值的或可数的集合体，更不用说一个可计数的集合体了，是跟那些仅仅可以分类或可以序列化的集合体相反的，其头一个特征是它把个别项的质抽出来，使所有的个别都成为等值的。于是它们仍然能够以重叠的类的形式排列起来：（I）＜（I＋I）＜（I＋I＋l）＜……，但这种排列只是在它们彼此之间可以区别的情况下才行，因为否则同一个元素可能被数两次，或者另一个元素被漏掉而没有被数到。一旦个别元素I，I，I等等借以区分的质已被消除，它们就会变成难于辨别的；而且，如果人们还局限于从事与质有关的类的逻辑运演，就只能产生A＋A=A这种同语反复，而不是I＋I=II这种迭代。在没有质的差别的情况下，唯一可能保留着的差别就是1…》I…》I……这个顺序（空间上的或时间上的位置，或数数的顺序）所产生的差别，尽管这是一个可以替换的顺序，即不管其中各项是怎样排列，其顺序都保持不变。所以数表现为归类运演和序列化运演的溶合，亦即一旦对作为分类和序列化运演的基础的互有区别的质进行抽象时就立即成为必要的那么一种综合。这样，整数的建构看来是与这两种运演结构的形成同时发生的。（见《研究报告》，第十一卷、十三卷和十七卷）。
正如我们刚刚已谈到的，这个新发展显示出一切运演的建构的三个主要方面：有反身抽象，它产生了归类关系和顺序关系；有新的协调，它把这两种关系联合成为一个整体｛＇（I）…》（I）］…》（I）｝…，等等；有自我调节或平衡，它容许系统内的转换向两个方向进行（加和减的可逆性），从而保证每个整体或子整体的守恒。然而，这并不是说数的综合是在分类和序列化的结构已完成之后才发生的，因为自前运演水平往后就出现了那种没有总数守恒的形象的数；数的形成能够促进归类的形成，其促进程度等同于，有时且大于归类之促进数的形成。所以，看来是从最初的结构开始，就能够存在有归类关系和顺序关系的反身抽象以服务于多种目的，而在类、关系和数这三个基本结构之间具有可变的旁系关系。
空间性运演（《研究报告》第十八卷和十九卷）是与前面这些运演紧密平行地形成起来的，只是归类不再是像离散的客体那样以相似性和质的差别作为依据，而是以邻近和分离为依据。整体不再是不连续项的集合体，而是一个完整的、连续的客体，它的各个部分则依照邻近性原则或者联结起来，包括进来，或者分离开来。因此，分离或定位与位移的初级运演，同归类或序列化的初级运演是具有同构性的；如果我们还记得，在最初的前运演水平，空间客体和前逻辑集合体之间有相对的未分化的情况（参看按空间顺序排列的形象集合体，或根据行列的排列方法或长短来对形象的数作出估计），上述这一点就显得特别清楚了。将近七岁到八岁时，这两种结构就清楚地分化了，我们于是就能把那些以不连续性和相似性或差别性（不同程度的等值）为基础的运演说成是逻辑数理运演，而把那些从连续性和邻近性产生的运演说成是“逻辑下”运演。因为，即便它们是同构性的，它们也属于不同“类型”，并且在彼此之间不存在传递性：第一类运演是从客体开始，并且把客体组合起来或予以序列化，等等，而第二类则是把一个有连续性的物体分开。在这两类运演之间是没有传递性关系的，正如苏格拉底的鼻子，尽管是他本身的一部份，但并不是象苏格拉底这个人一样是一个雅典人，希腊人或欧洲人，等等。
如果我们把注意转向量度的建构上，则这个在逻辑数理运演和“逻辑下”运演或空间性运演之间的同构性就显得特别引人注目，量度的出现与数的出现非常相似，只是因为下述事实，量度的出现在时间上略迟于数的出现，这个事实就是：元素的单位不是由元素的不连续性所暗示出来的，而必须通过把连续的东西分割开来才能建构成功，并且还必须想象这种分割能够转移到客体的其它部份去。这样，量度是作为分割和有顺序的位移的一种综合而出现的，人们可以根据先后出现的一些行为形式来一步一步地追寻这种艰难发展的各阶段。这种综合跟建构数概念时对归类和顺序关系的综合自然是紧密地类似的。只是在这个新综合的末期，通过把数直接应用于空间连续统一性上面，量度才被简化，但儿童仍然是首先要经过必要的逻辑下过程的（当然，除了给他现成的单位时才不是这样）。
现在让我们从这许多作为标志具体运演阶段头一个水平的成就转到与因果性有关的成就上去。正如前运演水平的因果性最初是心理形态学地把活动格局归因子客体，然后把活动格局分散成为一些可以客观地表现出来的功能一样，到了七岁到八岁阶段，在某种意义上说也存在着把运演归因于客体的情况，从而使客体上升到算子的地位，其活动现在能以一种多少是理性的方式组合起来。因此，在问题是传递运动的地方，运演的传递性就牵涉到一个作为中介的“半内部的”传递概念：被试虽则继续坚持认为，比如说，是在移动中的客体使得一行被冲击客体的最后一个产生移动。因为在这一行中间的客体发生了轻微的位移，并且互相推动，然而他同时却又设想有一个“冲力”，一个“力流”等等通过这些中间物。在处理两个重物间的平衡问题时，儿童将根据补偿和等量来作出考虑，从而把一些既是加法又是减法的组合归因于客体。简言之，人们可以说这是关于因果关系的运演的开始；但这并不是说以前所描述的运演是完全自主地形成的，只是在以后才归因于现实而已。相反，儿童作出因果解释时，常常是在进行运演性综合的同时，又将这综合归因于客体。这两者的同时发生是由于反身抽象所导致的运演形式同依靠简单抽象而从实物经验中抽出来的材料——这种材料能够促进（或阻碍）逻辑结构和空间结构的形成——这两者之间的种种不同的相互作用而实现的。
最后讲的这一点把我们引到了这个水平所固有的极限去，或者说引到了一般具体运演所特有的极限去。与十一岁到十二岁所达到的，我们称之为形式运演——这些运演的特点是有可能通过假设来进行推理，并要求把形式的联结和内容的真实性分别开来——的那个阶段截然不同，“具体”运演是直接与客体有关的。因此它似乎同前运演水平一样纯粹是主体作用于客体的问题，所不同的是现在这些活动（或者说在客体被看成因果性算子时被归因于客体的那些活动）被赋予了一种运演的结构，也就是说，它们可以以一种传递和可逆的方式组合起来。情况既然如此，就容易了解，某些客体或多或少是容易适合于这种结构的，而另一些客体则不是如此；这意思就是说，形式迄今还没有同内容分开，同一些的具体运演将适用于不同的内容，只是在时间先后上有所不同。因此，就重量来说，量的守恒，系列化等等，甚至等量的传递性，都只有将近九岁到十岁时才能掌握，而七到八岁时则不能。在七、八岁时只能掌握比较简单的内容。原因就在于重量是一种力，重量的因果关系的动力学特性对于这种运演的结构化是一种阻碍。然而，当运演的结构化确乎出现时，儿童就使用他在七岁到八岁时用于守恒、序列化或传递性的同一些方法和同一些论据了。
具体运演结构的另一个基本的局限性在于它们的组成是一步一步进行的，而不是按照任何一种组合原则。这就是“群集”结构的本质特征，这种结构的一个简单例子就是分类。如果A、B、C等等是一些交互重叠的类，A'、B'、C'是它们的补余，则下面这些等式都是能够成立的：
（1）A＋A'=B；B＋B'=C；等等
（2）B…A'=A；C…B=B'；等等
（3）A＋0=A
（4）A＋A=A；由此得出A＋B=B；等等
（5）（A＋A'）＋B'=A＋（A'＋B'）
但：（A＋A）…A≠A＋（A…A）
因为：A…A=0，而A＋0＝A在这个情况下，如A＋F'这样一个非邻接的组成就不会产生一个简单的类，而其结果是：（C…E'…D'…C'…B'…A'）。再者，这就是一个动物学分类的群集的情况，在这里“牡蛎＋骆驼”是不能以别的方法结合起来的。虽然数的综合似乎应该可以避免这些局限性——因为整数跟零、负数一起形成一个群，而不是一个“群集”，——然而，具体运演阶段第一水平的特点之一就是：即便是数的综合也只能“一步一步地”发生。格雷科证明，自然数的构成只是依照我们可以称之为一个逐步的算术化的过程而产生的，这种算术化的各阶段的特点大致可用1…7、8…15、16…30等等数来描述。超出了这些极限——超出这些极限的进展是相当慢的——数就仍然只包含有归类的方面或序列化的方面，只要这两个特点的综合还处于未完成状态之下就一直会是如此（《研究报告》第十二卷）。
五、具体运演阶段的第二水乎
在这个子阶段（将近九岁到十岁），除第一水平已经达到其平衡的那些不完全的形式之外，又达到了“具体”运演的一般平衡。但是进一步看，正是在这个阶段，具体运演的性质本身所特有的缺陷开始在某些方面，尤其是在因果关系方面表现了出来；这些新的不平衡状态在某种意义上说就肇始了一种完全的再平衡，这种再平衡是下一阶段的特点，它的迹象甚至在这个水平上有时也能看到。
这个子阶段的新异之处在逻辑下关系或者说空间关系的领域内表现得特别明显。从七岁到八岁以后，在对自身是同一的客体——其对主体的地位已有所改变——的看法和观点的变化方面形成了某些运演。但是仅在将近九岁到十岁时，人们才能谈到对客体集合体（如座落在不同地方的三座大山或建筑物）的观点的协调。在这个水平上，一维、二维或三维空间的量度也导致自然座标的建构，把它们联系成为一个完整的系统。因此，儿童只是在将近九岁到十岁，才能预言在一个向一边倾斜的容器内水的表面是水平的，或者预言靠近一个斜面的一根铅线是垂直的。在所有这些情况下，所牵涉到的是除了只在第一个子阶段存在的形象内的联结之外，还有形象间的关系的建构；或者换一种说法，就是与简单形象相对立的空间的加工建构。
谈到逻辑运演，我们想提出如下一些观察结果。七岁到八岁时，被试不但能建构加法结构，而且能建构乘法结构：如同时按两个标准分类的二因素表（即矩阵）、系列的对应、或者说双向的序列化（例如，按系列顺序排列树叶，竖行依照树叶的大小排，横行依照树叶颜色的深浅排）。但是这些成就更多地是属于成功地执行所提出来的任务的性质（例如，“把图形按最好的可能方式排列起来”，而不给以要如何排列的暗示），而较少地属于自发地应用结构。另一方面，九岁到十岁年龄的儿童在试着去分析出一个归纳性问题中的函数依存关系（例如：反射角和入射角之间的依存关系）时，显示出有发现数量上的协变的一般能力，虽然还不能够如同在下一阶段那样把其中所包含的因素分离出来，而是在系列化了的关系之间或类与类之间发现对应关系。然而，尽管在变量仍然没有充分区分开来时，这种工作程序可能是非常之笼统的，这种方法