假定只有两种可能性，就像前面署名有争议的联邦主义论文的例子：它不是麦迪逊写的就是汉密尔顿写的。于是，在应用了贝叶斯定理之后，就会得到了一个先验胜率（prior odds）与后验胜率（posterior odds）之间的简单关系，这里的数据可以归纳成一种称为“贝叶斯因子”（Bayes factor）的东西。这是一种根本不用参考先验胜率来刻画数据的一种数学计算。有了这个计算工具，分析家就可以告诉读者，插入任何他想要的先验胜率，乘以计算出来的贝叶斯因子，再计算后验胜率。莫斯特勒与华莱士对12篇署名有争议的文章，每篇都是这样处理的。
此外，他们对文章里的那些无特定含义的字出现的频率，还进行了两种非贝叶斯分析。这样他们有了四种方法来判断有争议文章的作者：层次贝叶斯模型，计算的贝叶斯因子，以及两个非贝叶斯分析方法。结果如何呢？所有12篇文章都压倒性地指向麦迪逊。实际上，如果使用计算的贝叶斯因子，那么对某几篇文章来说，读者认为是汉密尔顿写的先验胜率可能要大于100000：1才有办法让后验胜率为50：50。
第14章 数学界的莫扎特
在20世纪统计学方法的发展历程中，费歇尔并不是唯一的天才。俄国数学家安德烈？N？柯尔莫哥洛夫（Andrei N。 Kolmogorov）（比费歇尔年轻13岁，1987年以85岁高龄过世），在数理统计与概率理论方面留下了很多不朽的成就。他的成就虽然是以费歇尔的一此研究成果为基础的，但柯尔莫哥洛夫的成就在数学深度与细节上都超越了费歇尔。
不过，就像他的成就对科学的贡献非常重要一样，柯尔莫哥洛夫对所有认识他的人也颇具影响力。他的学生艾伯特？N？谢耶夫（Albert N。 Shiryaev）在1991年写道：
A？N？柯尔莫哥洛夫属于那种很少数、你一接触就知道他与众不同的人，他很伟大、很杰出，感觉像个奇才。他的一切都和别人不一样：他的一生，他的中学和大学生活，他在数学……气象学、流体力学、历史、语言学、教育学等领域的开创性发现。他的兴趣异常广泛，包括音乐、建筑、诗歌及旅行。他的博学多闻也是罕见的。看上去好像他对任何事都有很高深的见解……。任何人只要和他见过面，只要与他简单交流，便会感觉他是那样的非常寻常。人们感觉到，他是那种具有连续深度心智活动的人。
柯尔莫哥洛夫生于1903年，那年他的母亲正从克里米亚（Crimea）返回家乡，她的家乡在俄国南部托诺西纳（Tunoshna）的乡村，在旅行途中生下了柯尔莫哥洛夫。有一位传记作家很精确地写到：“柯尔莫哥洛夫是个非婚生的儿子。”他的母亲玛丽亚？雅科夫列夫娜？柯尔莫哥洛夫（Mariya Yakovlevna Kolmogorov）在怀孕的后期被其男朋友抛弃，只得回家待产，不料阵痛提早发作，她只好在中途的坦波夫（Tambov）镇下了火车，在那儿生下了小孩。不幸的是，她自己却因难产死于这个陌生的小镇，只有她的初生婴儿回到了故乡托诺西纳。后来是他妈妈的几个未婚姊妹抚养了他，其中的薇拉？雅科夫列夫娜（Vera Yakovlevna），后来变成了他的养母。阿姨们为年轻的安德烈和他同龄的孩子在村子里办了一个小学校。她们甚至在家里印刷了一份小刊物，叫做《春燕》（Spring Swallows），他的第一篇作文就发表在上面。在他5岁的时候，他提出了他的第一个数学发现（也发表在《春燕》上）。他发现最小的k个奇数和和正好等于k的平方。随着他慢慢长大，他常拿一些问题问同学，这些问题与它们的答案也发表在《春燕》上。其中一个问题是这样的：缝一个四孔的钮扣，有多少种缝法？
到了14岁，柯尔莫哥洛夫从百科全书上学到一些高等数学，并且补充了其中没有证明的部分。在念高中的时候，他的一系列永动机的制造计划，考倒了年轻的物理老师。因为计划制定得太精巧了，连老师都不能发现其中的错误（柯尔莫哥洛夫把这些错误很小心地隐藏起来）。后来，他决定提早一年参加毕业考试。于是就正式向老师提出请求，老师要他午饭后回来听消息，然后他就出去散步了。等他回来的时候，学校考试委员会决定不必经过考试就发了证书给他。他后来对谢耶夫表示，这件事是他一生中最令人失望的事情之一，本来他希望迎接智力的挑战。
1920年，年仅17岁的柯尔莫哥洛夫来到莫斯科念大学。他注册读数学第，但到很多别的科系去听课，如冶金学，另外他还参加一个研究俄国历史的专题研讨会。作为研讨会的一部分内容，他报告了他的第一篇等待发表的研究论文，内容是分析15到16世纪时诺夫哥罗德（Novgorod）地区土地占有情况。他的教授批评这篇论文，认为柯尔莫哥洛夫没有提供足够的证据。几年后，有个考古队在该地区探险，证实了柯尔莫哥洛夫的猜测。
作为莫斯科国立大学的学生，他到中学兼职做教员，还参加了许多课外活动。后来他继续在莫斯科大学读数学专业的研究生。数学系要求学生修14门基础课程，而对于每门课程，学生可以选择或是参加期末考试，或是提交一篇具独创性的论文。很少有学生尝试写出一篇以上的论文柯尔莫哥洛夫从没参加过考试，而是写了14篇具独创性的精彩论文。他后来回忆说，“其中一篇的结果其实是错的，但我只是在后来才意识到。”
柯尔莫哥洛夫这位才华横溢的数学家得到西方科学家的赏识，是通过他在德国出版的一系列精彩的文章及一些德文书籍实现的。在20世纪30年代，俄国当局甚至还允许他去参加一些在德国和斯堪的那维亚举行的数学研讨会。不过在第二次世界大战期间以及战后，柯尔莫哥洛夫这个伟大的人物却消失在斯大林的铁幕后面。1938年，他发表了一篇论文，这篇论文建立了平滑和预测平稳随机过程的基本定理（这项研究在本章后部分还将做介绍）。诺伯特？维纳（Norbert Wiener）对于战争的状态给出了一个有趣的评论，维纳当时正在麻省理工学院（Massachusetts Institute of Technology），在战争期间和战后，他致力于将这些方法应用于军事问题。维纳的研究结果被认为对美国的冷战非常重要，以至于被宣布为最高级的机密。但是维纳坚持认为，他的所有研究结果都可以从柯尔莫哥洛夫早期的那篇论文中推导出来。在二次大战期间，柯尔莫哥洛夫忙于研究如何将该理论应用于苏联的战争中。柯尔莫哥洛夫一直谦逊地评价自己的学术成就，他认为这些基本思想应该归功于费歇尔，因为费歇尔在他的遗传学的研究中使用了类似的方法。
柯尔莫哥洛夫其人其事
1953年斯大林去世后，政治上处处怀疑的铁环开始松动。于是柯尔莫哥洛夫这个人又开始露面，参加一些国际学术会议，同时在俄国也组织一些学术会议。国际上的数学界开始认识他。他是一个热心、友善、开明、幽默的人，同时知识渊博，喜爱教学。他那敏锐的大脑对他的所见所疗总是不停地在思考。我手头有一张1963年柯尔莫哥洛夫在第比利斯（Tbilisi）听英国统计学家大卫？肯德尔（David Kendall）讲座时的照片，柯尔莫哥洛夫的眼镜搭在他的鼻尖上，他身体前倾，热切地跟踪讨论。你可以感觉到一种鲜明的个性，感染着坐在他周围的人。
柯尔莫哥洛夫最喜爱的一些活动是给莫斯科的一些有天赋的孩子讲课并组织课堂活动，他非常乐于将孩子们引入到文学和音乐的知识领域。他带孩子们远足和探险，他认为每个孩子都应该有一个“完整个性的宽广而自然的发展空间”。大卫？肯德尔曾写道：“这些孩子将来是不是都成为数学家，这并不是他所关心的。不管孩子们最终从事什么职业，只要他们的远见仍然宽阔，只要他们的好奇心并没有被遏制，他就会感到满意。”
柯尔莫哥洛夫在1942年与安娜？德米特里耶夫那？叶戈罗娃（Anna Dmitrievna Egorova）结婚。他们恩爱美满的婚姻一直延续到他们80多岁。他是一位狂热的徒步旅行和滑雪爱好者，在他70多岁的时候，还带领年轻人远足攀登他所喜欢的山脉，讨论数学、文学、音乐和普通的生活问题。1971年，他加入了一个科学探险队，在德米特里？门捷列夫（Dmitri Mendeleev）科学考察探险船上探索海洋的奥秘。他的同辈不断地对他所感兴趣的事物和他所拥有的知识感到惊奇。在他会见约翰？保罗教皇二世（Pope John Paul Ⅱ）时，他与这个爱好运动的教皇讨论滑雪，并指出，在19世纪，胖的教皇与瘦的教皇交替出现，并且还指出约翰？保罗教皇二世是第264任教皇。看上去他的研究兴趣之一是罗马天主教的历史。他曾经做关于俄国诗歌的统计分析方面的讲座，他还能记住并大段大段地背诵普希金（Pushkin）的诗歌。
1953年，莫斯科国立大学组织了一次大型活动，庆祝柯尔莫哥洛夫的50生日。作为该活动的一位演讲人，该校退休的名誉教授帕维尔？亚历山大德罗夫（Pavel Aleksandrov）曾讲到：
柯尔莫哥洛夫属于这样一类数学家，他们在任何一个领域中的每一项研究都会引领出一种全新的评价。在这些年，我们很难找到一个像他这样的数学家，不但兴趣广泛，而且对数学界深具影响力，……哈代（Hardy，一位著名的英国数学家）认为他是三解级数的专家，而冯？卡曼（von Karman，一位二次大战后的德国物理学家）则认为它是机械学专家。格德尔（G？del，一位数学哲学理论学家）曾说，天才的特质是永远保持着童心。所谓的童心有许多特质，感到兴奋是其中之一。对数学感到兴奋是柯尔莫哥洛夫作为天才的一个印证。除此之外，柯尔莫哥洛夫对事物的兴奋，还展现在他具创造性的研究成果中，在他为《俄国百科大辞典》（Large Soviet Encyclopedia）写的许多文章里，在他所开发的博士项目中。这些都只是他的一个方面，而他的另外一面，则是他专心致志的做事态度。
他这种专心致志的做事态度其结果是什么呢？要列出柯尔莫哥洛夫在数学、物理、生物与哲学领域中有哪些重要贡献，倒不如列出他在这些领域里的哪一方面没有多大贡献，后者比前者容易得多。1941年，他建立了研究湍流的现代数学理论方法。1954年，他在检验行星间的重力交互作用时，发现了一种模拟方法，可用来描述其中的“不可积分”性，这正是百年来数学分析所面临的一个挑战。
柯尔莫哥洛夫在数理统计方面所做的工作
对于统计学的革命，柯尔莫哥洛夫解决了两项最迫切的理论问题。在他去世之前同，他几乎解出了困扰统计方法核心的一个很深奥的数学哲学问题。这两个迫切的问题是：
1。 概率的真正数学基础是什么？
2。 面对像地震过后的余震（或地下核弹试爆）这类长时间搜集上来的数据时，我们可以做些什么？
当柯尔莫哥洛夫开始研究第一个问题时，概率在理论数学家的眼里名声并不太好。这是因为，很多人认为创建于18世纪的计算概率的数学技巧，只不过是比较聪明的计数法而已。（例如，从一副标准的扑克牌中，抽取3组牌，每组5张，可以有多少种发牌法只会让其中一位参与者成为赢家？）这些聪明的计数方法看上去似乎没有一个单一的基础理论结构，好像都是为了满足某项特殊需求而创造出来的特定做法。
对大部分的人来说，有个能解决问题的方法就够了，但对19世纪末、20世纪初的数学家来说这是不够的，他们需要一个坚实而严密的基础理论，以确保得到的这些解中不会有错误。18世纪数学家们所使用的这些特定方法虽然有用，但如果应用错了也会产生很难应付的悖论。因此，20世纪初期数学的主要工作就是把这些特定方法放在一个坚实而严密的数学基础上。亨利？勒贝格（就是让奈曼印象非常深刻的那位很有数学见地的勒贝格，但后来奈曼真的与他见面时，却觉得他粗鲁而没礼貌）的研究工作之所以这么重要，就是因为他把微积分的特殊方法建立在一个坚实的基础上。只要概率理论还停留在17和18世纪那种不完整的阶段，20世纪的数学迷朦就会认为概率理论是一种没多大价值的东西（许多统计方法也会遭此轻视）。
柯尔莫哥洛夫思考了概率计算的本质之后，最后终于发现，求一个事件的概率完全就像求一个不规则形状的面积。他把新产生的数学测试理论应用到概率的计算上。有了这些工具，他就能定出一套公理，再用这些公理建构出整个概率理论。这就是柯尔莫哥洛夫的“概率论的公理化”（axiomization of probability theory），至今仍是学校中讲授概率论时采用的唯一方法。这种方法永久性地解决了有关概率计算有效性的所有问题。
解决了概率理论的问题之后，柯尔莫哥洛夫开始攻关另一个有关统计方法的主要问题（与此同时，他还要教那些天才的儿童，组织研讨会，管理数学系，解决有关机械学与天文学的问题，以及如何让生活过得既充实又精彩）。为了使统计计算变得可行，费歇尔以及其他的统计学们家都假设所有的数据都是独立的。他们把一系列的测量结果看成像是掷骰子得来的。因为骰子没有记忆，不会记得它们上次出现的点数，所以每次新出现的点数都与先前出现的点数完全独立。
大部分数据并不是彼此独立的。费歇尔在《研究工作者的统计方法》一书中所举的第一个例子，是他的新生儿子每周的体重。显然，若小孩在一星期内增加很多体重，下一周的数据当然会反映这种结果；如果小孩此周生了病，体重没有增加，下周的体重数据也会把这个结果反映出来。在现实生活中，一个长时间搜集上来的数据序列很难被认为是真正独立的。
费歇尔在他的《作物收成变动研究》这一著作的第三篇中（也就是H？费尔菲尔德？史密斯教授介绍给我的那篇重量级论文），记录了连续几年的小麦收成量和那几年每日的降雨量。随时间�