进行上万甚至百万次的计算，最后才会收敛于一个最终的答案。
科克伦和鲁宾的方法是高度依赖特定模型的，也就是说，除非所用的这个复杂的数学模型能非常准确地描述现实，否则就不会得出正确的答案。如果使用他们的方法，就要求分析人员要建立一个能够全面或近似全面描述事实各个方面的数学模型，如果事实与模型不符，那么分析的结论就不成立。像科克伦和鲁宾这些方法的一个伴生部分，已经成为去确定事实与模型怎样的拟合度下，结论是稳健的一种尝试。目前，数学界正在致力于研究：在结论不再成立之前，事实与模型之间可以有多大偏差。科克伦在直到1980年去世以前的日子里，一直在研究这些问题。
统计分析方法可以看作是一个连续过程，一端是高度依赖模型的方法，如科克伦和鲁宾的方法；另外一端则是一些非参数方法，采用最普通的方式检查数据。正如计算机的出现使模型模拟的方法得以实现一样，在使用非参数方法时，也发起了一场计算机革命，这种方法极少或根本不用设计数学结构，数据不必放在一个预想的模型中就可以展现它们的含义。这些方法在使用中都有一些奇怪的名字，像“解靴带”（“bootstrap”，我们称为“自助法”——译者注）。这是下一章要叙述的内容。
第28章 电脑随心所欲
圭多？卡斯泰尔诺沃（Guido Castelnuovo）出生于显赫的意大利犹太家庭，他的家庭背景可以追溯到古罗马最早的凯撒时代。1915年，卡斯泰尔诺沃当时是罗马大学（University of Rome）的数学教授，他正在进行一场孤独的战争，他想在研究生项目中引入一些有关概率和精算数学的课程。当时，安德烈？柯尔莫哥洛夫还没有建立起概率论的基础，数学家认为概率只是一个使用了复杂计算技术的众多方法的集合，是数学中的一个有趣的花絮，经常作为代数课里的一个部分来教授，在纯数学美丽的微光尚待关注的时候，没有人认为值得在研究生项目中开设这种课程。就精算数学而言，这段时间是应用数学最低迷的时期，人的寿命及意外事故发生频率的计算都只是采用简单算术，所以，系里其他的数学教授都认为没有开设这个课程的必要。
卡斯泰尔诺沃不仅在代数几何学这个抽象领域做了许多开创性工作，他对数学应用也有着浓厚的兴趣，他还劝说系里的其他人允许他开设这个课程。作为教学的成果，他在1919年出版了第一本关于概率与统计应用的教科书《概率运算与应用》（Calcolo della probabilità e applicazioni），这本书被意大利其它一些大学用于类似课程的教学中。到了1927年，卡斯泰尔诺沃已经在罗马大学成立了统计与精算科学学院（The School of Statistics and Actuarial Sciences），而且在整个20年代和30年代，意大利学校里致力于精算研究的统计学家越来越多，他们与瑞典该领域的专家进行极其活跃的交流。
1922年，贝尼托？墨索里尼（Benito Mussolini）在意大利实行法西斯主久，利用强权控制人民的言论自由，对大学里的学生和教职工都进行调查，以驱逐所谓的“国家的敌人”。在这次驱逐行动中，因为没有提及种族问题，所以卡斯泰尔诺沃是犹太人这件事没有被考虑进去 。所以最初的7年里他能够继续在法西斯政府的统计下工作。到了1935年，意大利法西斯与德国纳粹的联合导致在意大利实行反犹太的法律，70岁的卡斯泰尔诺沃失去了工作。
但是，这些并没有使这位不知疲倦的人停止工作，直到1952年去世。随着纳粹种族政策的实施，许多有前途的犹太研究生也被逐出大学。卡斯泰尔诺沃就在他和其他犹太教授的家里设立了特殊的课堂，坚持授课，以帮助这些犹太研究生继续他们的学业。卡斯泰尔诺沃除了写一些关于数学历史的书外，还在他87岁时的最后日子里，研究决定论和机遇之间的哲学关系，并试图去说明因果的概念——这些我们已经在前面的章节中接触过了，在本书的最后一个章节我将作进一步的探讨。
由于卡斯泰尔诺沃的努力而建立起来的意大利统计学派，拥有稳定的数学基础，但大多数研究都是以在实际应用中遇到的困难作为出发点。而与卡斯泰尔诺沃同时代的年轻人科拉多？基尼（Corrado Gini）则带领罗马中央统计研究所（Istituto Centrale Statistica in Rome）进行了在精算方面的深入研究。罗马中央统计研究所是一家由保险公司设立的私人研究机构。基尼对所有应用课题的极大兴趣促使他在20世纪30年代期间与活跃在数理统计领域大部分年轻的意大利数学家保持着密切的联系。
格利文科－坎泰利引理
在这些意大利数学家中有一位叫弗朗切斯科？保罗？坎泰利（Francesco Paolo Cantelli，1875－1966），他差不多先于柯尔莫哥洛夫就建立了概率论的基础。坎泰利对基础理论研究（如研究概率的意义是什么？）不感兴趣，没有像柯尔莫哥洛夫那样更深入地研究概率论，他只是满足于用概率运算的各种方法去推导出一些基本的数学定理，而这些概率运算的方法都是自18世纪数学家亚伯拉罕？棣莫弗将微积分引入概率计算后就存在的。1916年，坎泰利发现了我们所称的数理统计的基本原理。尽管它非常重要，却起了一个不起眼的名字“格利文科－坎泰利引理”（the GlivenkoCantelli Lemma ）。坎泰利是第一个证明了这个定理的人，并且，他非常理解它的重要性。至于柯尔莫哥洛夫的学生——约瑟夫？格利文科（Joseph Glivenko）对此定理也做出了贡献，他采用一种新的数学符号，即斯蒂尔切斯积分（Stieltjes integral）概括了这一结果，他的论文在1933年发表于一本意大利的数学期刊。格利文科所采用的数学符号是现代教科书中使用最多的一个符号。
格利文科－坎泰利引理是那种直观上显而易见的，但是，只有当别人发现后，你才会意识到，否则看不出来。如果有一些数，我们对它们的概率分布一无所知，那么数据本身可以用来构造一个非参数分布，这是一个不那么好看的数学函数，其间有许多断点，怎么看都不优美，尽管它的结构不雅观，坎泰利还是可以通过增大观测值的数量，来使不那么美的经验分布函数（empirical distribution function）越来越接近真实的分布函数。
格利文科－坎泰利引理的重要性立刻得到了承认，在这之后的20年里，这个引理被用来还原并证明了许多重要的定理，它是一种经常用于证明中的数学研究工具之一。为了用这个引理，数学家在20世纪初，不得不想出一些计算方法的简便算法，如果没有小窍门，在大量的数据样本中用经验分布函数来进行参数估计，就需要有一部在一秒钟内可以进行数百万次计算的超强计算机。在20世纪50年代、60年代乃至70年代都还没有这样的机器，到了80年代，才有这样的计算机用于这样的计算。格利文科－坎泰利引理成为新统计方法的基础，而这种新统计方法只能生存在高速计算机的世界里。
埃弗龙的“解靴带”法
在1982年，斯坦福大学的布拉德利？埃弗龙（Bradley Efron）发明了所谓“解靴带”（Bootstrap）（我们称为“自助法”）的方法，它基于格利文科－坎泰利引理的两种简单应用。这两种应用方法的原理很简单，但是它们要求用电脑进行大量的计算、再计算，……如果对一组数量适中的数据进行典型的“解靴带”分析，即使是利用最好的计算机也需要花好几分钟的时间。
埃弗龙把这种方法称为“解靴带”，是因为整个计算过程是一个数据自身模拟提升的过程，就像是解靴带一样，一个接一个地被解开。计算机不会介意重复单调的工作，它一遍又一遍地做着同样的工作，从不抱怨。由于使用了现代的晶体管芯片，计算机可以在不到万分之一秒内完成这些工作。在埃弗龙的“解靴带”背后还有一些复杂的数学理论，他最初的论文中证明了，如果对真实的数据分布做出了恰当的假设，这个方法与标准方法是等同的。这个方法的应用非常广泛，从1982年开始，几乎在每个数理统计期刊上都刊载一篇或更多的与“解靴带”相关的文章。
重复抽样和其它运算密集方法
还有其它一些与“解靴带”类似的方法，总称为重复抽样（resampling）。事实上埃弗龙已经阐述了费歇尔的许多标准统计方法都可以看作是重复抽样，而且，重复抽样方法属于范围更广的统计方法的一种，我们称之为“运算密集”（puterintensive）。运算密集法充分利用现代计算机，对相同的数据不断地重复进行大量的运算。
20世纪60年代，美国国家标准局（the National Bureau of Standards）的琼？罗森布拉特（Joan Rosenblatt）和德州农工大学（Texas A&M University）的伊曼纽尔？帕仁（Emmanuel Parzen）发展了这种运算密集的程序，他们的方法被称为“核密度估计”（kernel density estimation），而且，由此产生了“核密度回归估计”（kernel densitybased regression estimation）。这两种方法涉及到两个任意参数，一个是“核”（kernel），另一个是“带宽”（bandwidth）。这些方法出现不久，1967年（远在计算机可以解决这些问题之前）哥伦比亚大学的约翰？范里津（John van Ryzin）利用格利文科－坎泰利引理确定了参数的最优配置。
当数理统计学家们还在研究理论，并在他们自己的期刊发表文章时，罗森布拉特和帕仁的核密度回归已经被工程界独立地发现了，在计算机工程师中，它被称为“模糊近似值”（fuzzy approximation）。它用了范里津所称的“非最优核”（nonoptimal kernel），并且，只是非常随意地选用了一个“带宽”。工程实践不是为了寻找理论上最佳的可能方法，而是在于追求可行性。当理论家们还在为抽象的最优标准而大费周折时，工程师们已经走出去，到了真实的世界，用模糊近似值的概念建立了以计算机为基础的模糊系统。模糊工程系统应用于傻瓜相机，可以自动对焦和调整光圈。这一系统还应用于新建筑物中，根据不同房间的不同需要调整和保持舒适的恒定室温。
巴特？科什科（Bart Kosko）是工程界一个私人咨询师，是模糊系统推广者中最成功的一位。当我读他书中列出的参考书目时，可以找到关于19世纪一些主流数学家，像戈特弗里德？威廉？冯？莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz）等的参考资料，还有对随机过程理论及其在工程领域的应用方面做出贡献的数理统计学诺伯特？维纳（Norbert Wiener）的一些资料。但我找不到罗森布拉特、帕仁、范里津或核回归理论（the theory of kernelbased regression）任何后来贡献者的资料。这表明，尽管模糊系统和核密度回归的计算机运算法则基本一致，但它们各自完全独立地得到了发展。
统计模型的胜利
运算密集法在标准工程实践中的扩展，是20世纪末统计革命已经渗透到科学界各个角落的一个实例。数理统计学家们已经不再是统计方法发展唯一的、甚至已经算不上是最重要的参与者了。在过去的70年中，科学家和工程师们并不知道那些刊载于他们期刊中最重要的理论经常一次次地被重新发现 。
有时，应用者应用基础定理时没有进行重新论证，仅仅凭直觉上以为是对的就假定它是正确的。还有的情况是，使用者使用了已经被证明是错误的定理，仅仅是因为这些定理直观上看起来是正确的。存在这种问题的原因，是因为在现代科学教育中概率分布的概念已经根深蒂固，以至于统计学家和工程师们思考问题的方式也是基于概率分布的角度。一百多年前，K？皮尔逊认为，所有的观测都来自于概率分布，而科学的目的就在于估计这些分布的参数。在这之前，科学界相信宇宙遵守着某些规律，如牛顿运动定律，而观测到的任何差异都是因为误差的存在。逐渐地，皮尔逊的观点占据了优势，其结果，每个在20世纪接受科学方法训练的人都理所当然地接受了皮尔逊的观点。这种观点深深地植根于现代数据分析的科学方法之中，几乎没有人去考虑其所以然。很多科学家和工程师使用这些方法，但从不考虑K？皮尔逊观点的哲学含义。
然而，当科学研究的真正“主体”是概率分布这一观念被广为接受时，哲学家和数学家发现了许多严重的基本问题，我已经在以上的章节中概略地列举了一些，在下一章节将详细论述。
第29章 “泥菩萨”
1962年，芝加哥大学的托马斯？库恩（Thomas Kuhn）出版了《科学革命的结构》（The Structure of Scientific Revolutions）一书。这本书深刻地影响了哲学家们和实践者们如何去看待科学。库恩指出，现实是复杂的，是绝对不可能由一个有组织的科学模型来完全描述出来的。他认为科学就是试图模拟建立一个描述现实的模型，符合可用的数据，并且可以用来预测新实验的结果。因为没有任何一个模型是完全真实的，所以，数据越来越多，要求不断地配合新的发现去修正模型以修正对现实的认知。这样，模型因为带有特例的直觉上难以置信的延伸，变得越来越来复杂，最终，这个模型不再适用了。这时，有创新精神的人将会考虑建立一个全新的模型，一场新的革命在科学领域即将展开。
统计革命就是模型变换的例子。用19世纪决定论的科学观，牛顿物理学已经成功地描述了行星、月球、小行星和彗星等天体的运动，运动都是遵守几个明确的运动和引力定律；在寻找化学规律方面也取得了一些成功；并且达尔文的自然选择学说为理解进化提供了有利的依据；甚至有些人试图将这种寻找科学规律的模型研究引入社会学、政治科学以及心理学等领域。那时，人们相信寻找规律的难点在于测量不准确。
19世纪初，一些数字家如皮埃