① 学者在最近的一篇文章［J。 B。 Foster and P。 Burkett；‘Classical Marxism and the Second Law of Thermodynamics： Marx/Engels； the Heat Death of the Universe Hypothesis； and the Origins of Ecological Economics’；Organization Environment 21； 3 （2008）］中指出，从恩格斯的行文来看，他并不是反对热力学第二定律本身，而是反对由此推出的“宇宙热寂说”。——译者注
第一个从数学层面上认真看待这件事的人，是信奉天主教的物理学家和科学史学家皮埃尔·杜亥姆（Pierre Duhem，1861～1916）。他认为，自然界的熵永远在增加，并不意味着在过去某个有限的时刻它一定是零。＇33＇他反对用熵增加原理说明宇宙在有限的过去从虚空中产生，或者说明未来将处在一片热寂中，因为宇宙熵的连续增加并不意味着它曾有一个极小值，或者将来必然达到一个极大值。图2。6是一个简单的例子。
从热力学角度看待宇宙的最后一种新设想由路德维希·波尔兹曼（Ludwig Boltzmann，1844～1906）和恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo，1871～1953）在1895年提出。他们认为，宇宙是无限的，而且已经处于整体上的热平衡态，但虽然如此，系统各处都可能存在围绕这个平衡的临时性随机涨落。其中一些涨落可以像银河系一样大，足以成为生命存在的场所。＇34＇只是这样的大型涨落非常少有，因此生命也非常罕见。
图2。6 一个单调增长的曲线，过去从来不曾等于零，未来的增长也不会超过某个数值
事实上，早在1879年，波尔兹曼的涨落说已经被英国物理学家塞缪尔·托尔弗·普雷斯顿（Samuel Tolver Preston，1844～1917）提出来了。普雷斯顿原本学的是电报工程专业，但后来变成了热力学和引力方面的专家，并最终于1894年（当时他50岁）在德国拿到了他的博士学位。他被宇宙的广袤所震撼，因此觉得我们不能仅从所拥有的一粟中，就推断出关于沧海的最终结论。他提出宇宙中的一些区域体现出适宜生命居住的特点，但我们不能就因此说整个宇宙都是这样。尤其是我们必定会发现，宇宙中我们所在部分的熵在增加，以便允许生物化学反应的发生，因为“从我们存在于世的事实来看，我们必然位于适宜生命存在的部分”。而且，
宇宙在许多广阔区域内都会有这样的奇特性质，允许温度、聚集状态、组成以及形成宇宙的物质发生几乎是随机的局域涨落……整体的构成（宏观地看）仍然是彻头彻尾一致的。＇35＇
对于这个理论，有人批评，如果各处的熵都以相同的速率增加，那么就需要假设已知的物理定律在过去的某时失效了。对此，普雷斯顿成功地进行了辩驳。＇36＇我们将在第10章继续讨论普雷斯顿的这个想法，在被提出一百三十多年之后，它对宇宙学来说仍然是有意义的。
卡尔·史瓦西：超越时代的人
我已经受够了数/天上的星星
——艾弗利兄弟二重唱＇37＇
19世纪时，数学家们终于开始了解这么多个世纪来一直摆在他们面前的事实了。此前，除了欧几里得几何对平面上的线、点和角的经典描述，他们并不接受其他几何系统的存在。欧式几何被看作其领域内唯一正确的逻辑系统，这个偏见深深地植根于一个信念之中，那就是它和宇宙有相通之处。这并不仅仅是个数学“游戏”，从一系列初始假设和规则开始，就可以得出所有可能的几何结论。这是世界的真实存在：一条关于事物本质的绝对真理。当追问上帝或宇宙终极本质的神学家、科学家或哲学家被人批评，被问到其中可有什么东西已经完全搞清楚了时，他们就会以欧式几何为例，说明人类的思想如何把握住了一条终极真理。这就是为什么有时候他们会把自己的论文仿照欧几里得的方式进行论述。欧几里得就是黄金规则。
曲面上也可能有逻辑自洽的几何学，例如马鞍形面或球面，这个发现已经被航海家和艺术家直观地使用了数百年，他们对此并不感到惊奇。然而这些曲面上的几何却意外地引发了人类的思想革命。突然间有了许多种可能的几何。每一种都不过是一种从初始假设和规则推导得出的逻辑体系。没有一种几何敢于断言自己是终极真理的一部分。于是，几何和所有的数学都换了个态度，认为自己是一种公理和规则的体系。这些几何在逻辑上都自洽，在这个意义上它们都是“存在的”，但这并不能让它们成为真实的或必然的物质实在。
非欧几何最简单的例子是那些描述负曲率或正曲率曲面的几何，就像这里你看到的花瓶的图案（图 2。7）。一个曲面可以非常复杂，有些部分的曲率可以是正的、负的，也可以是零。想要了解曲面的曲率，最简单的办法是选取其中三个相邻的点，A、B和C，画出能够连接A到B、B到C、C再回到A的最短曲线。在一个平面上，这些最短的曲线其实就是直线，ABC就是一个内角和为180度的三角形。
在一个正曲率的面上，比如球面，连接 A、B和 C的最短距离就不再是像平面中那样的“直线”了。这些曲线其实是绕球心的圆弧。它们就是“大圆”，洲际航班为了将油耗降到最低而采用的路线（假设风都很小）。它们闭合后形成一个内角和大于180度的凸三角形。这是正曲率的特征。类似地，在一个负曲率的面上，比如一个马鞍面、一块品客薯片、一片冬青的叶片或是羽衣甘蓝的叶片（图 2。7b）＇38＇，其中的弯曲三角形的内角和小于180度。
有时候所谓的弯曲并不与我们朴素的直觉精确相符。从外观上看，你也许认为圆柱体是弯曲的，但事实并非如此。如果你拿一张平展的长方形纸，在上面画一个三角形，那么其内角和正如预料的那样是180度。现在把这张纸的两个长边黏在一起，形成一个圆柱体，让三角形朝外。三角形看起来跟往常一样，内角和是 180度。局部地看，圆柱体表面并不是弯曲的（图2。8）。
图2。7 （a） 连接弯曲表面上间隔不远的三个点所形成的三角形。花瓶底座的表面是正曲率的，于是三角形的内角和大于180度；瓶口附近是负曲率的表面，于是三角形内角和小于180度；这两个区域之间是曲率为零的表面，三角形内角和等于180度。（b） 甘蓝是卷心菜的一个变种，叶子表面是负曲率的
图2。8 黏合正方形的两个对边就形成了一个圆柱体。从局部看，圆柱体的几何仍然是平坦的，跟正方形一样。圆柱表面的三角形内角和仍然是180度，也跟正方形一样
卡尔·史瓦西（Karl Schwarzschild，1873～1916）是一个天才，可惜英年早逝，无法亲眼目睹自己想法的真正重要性。1916年5月，他年仅42岁就去世了。在恒星、星系和引力的研究中，他作出了许多发现。他发现了如今遍布宇宙的黑洞的精确解，为爱因斯坦革命性的相对论的精确实验检验铺平了道路。但在此之前，在1900年，从弯曲几何的理论中，他提出了一个宇宙的新图景。1900年7月，在海德堡召开的德国天文学会的会议上，史瓦西提出，宇宙的几何性质并不像欧几里得教给我们的那样是平坦的，而可能是弯曲的非欧几何。非欧几何在18世纪早期由约翰·兰伯特和意大利耶稣会士、数学家乔瓦尼·萨凯里（Giovanni Saccheri，1667～1733）首先提出，并由黎曼、高斯、波尔约和罗巴切夫斯基＇39＇于19世纪早期进一步发展。＇40＇这些新的可能性并没有受到物理学家和天文学家的一致欢迎，就连最富远见卓识的物理学家如詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（1831～1879），都在1874年给他的苏格兰老朋友＇41＇彼得·泰特（Peter Tait，1831～1901）的一张明信片中，把支持这种几何扩展的人称为“空间折皱者”（space crumplers）。＇42＇
图2。9 卡尔·史瓦西
史瓦西首先意识到，如果宇宙有负的曲率，那么恒星的视差角①就会有一个极小值，正如罗巴切夫斯基所指出的，于是他推导得出宇宙的曲率半径必然大于60光年。更有趣的是，他接着又考虑了宇宙有正曲率的情况。这意味着宇宙是有限而无界的，就像一个球面，自我闭合。＇43＇
① 从两个不同的地点看同一个物体，视线的夹角就是视差角。天文学中常用地球公转产生的视差角来测量恒星到太阳的距离。——译者注
史瓦西发现，100颗由视差法已测得距离的恒星以及 1亿颗由于视差角太小（小于 0。1 角秒）而测不出距离的恒星，可以很好地安放在半径不小于2500光年的正曲率球形空间里而不显得拥挤。他又提出在这样的空间里，如果我们朝太阳的反方向看，原则上＇44＇可以“看到”另一个太阳的像，因为光线绕着这个球形空间跑了一圈。
第一次世界大战爆发后，卡尔·史瓦西志愿加入德国军队。在俄国前线时，他写下了两篇绝世之作，一篇关于量子理论＇45＇，一篇关于爱因斯坦的相对论，两个都是诺贝尔奖级别的。1916年，他得了天疱疮，那是一种由免疫系统崩溃而引起的严重皮肤病，当时还没有治疗方法。到了3月，他被带回了家中，仅仅2个月后就去世了。
旧的世界观至此到了终结之时。19世纪的宇宙观曾以标新立异为耻，直到非常晚的时期，这种情况才有所改观。史瓦西的想法在当时并没有引起多少人注意。至此所有的牌洗得只剩下两张，一张是宇宙由许多星系组成，一张是只有一个银河系，其他所有的遥远星云都位于其中，虽然古代人可能认为宇宙的结构还存在别的可能性。但接下来，人类思想所能触及的领域将会大幅度地向外拓展。
注释
＇1＇ 这个总体的思路叫做人择原理，是布兰登·卡特（Brandon Carter）于1973年在纪念哥白尼诞辰500周年的一次天文学演讲中提到的。进一步的讨论参见：J。 D。 Barrow and F。 J。 Tipler；The Anthropic Cosmological Principle； Oxford UP； Oxford （1986）。更多应用人择原理的最新例子，参见：J。 D。 Barrow；The Constants of Nature； Jonathan Cape； London （2003）。
＇2＇ 一个理论也许会预言说，宇宙可能拥有许多不同的性质，每种性质出现的概率各不相同，而宇宙被观测到的性质或许是其中出现概率很小的结果。但是我们并不能因为这个理由就否定这个理论。也许，只有在那些出现概率很小的宇宙中才会允许观测者的存在。这种想法很重要，它能够用来检验本质上包含随机性的宇宙学理论，根据这些理论会得出许多性质不同的宇宙。在任何量子宇宙学理论中，这种随机性都是不可避免的。
＇3＇ 物理学家保罗·狄拉克强烈赞成这种观点。
＇4＇ 往牛顿方程中加入的额外项叫做科里奥利力，这是由科里奥利（Gaspard…GustaveCoriolis，1792～1843）于 1835年提出的。在一个旋转的参照系中，运动的物体会受到一种额外的加速作用，使得运动方向发生偏转，这就叫做“科里奥利效应”。同年，科里奥利利用牛顿力学原理，写下了一本关于台球研究的权威著作，叫做《关于台球中的自转、摩擦和碰撞的数学理论》（The Mathematical Theory of Spin； Friction and Collision in the Game of Billiards）。
＇5＇ 在希腊语中，银河就是galaxias，由此才有了英语中的galaxy（星系）。
＇6＇ 到了20世纪60年代，人们才发现赖特还有一份未曾发表的草稿，叫做《关于宇宙理论的反思或奇思》（‘Second or Singular Thoughts upon the Theory of the Universe’）。在这篇文章中，赖特放弃了他先前的高瞻远瞩，而换成了一种由无穷多层同心球面组成的宇宙，恒星坐落在这些球面上，球面的共同中心就是上帝。灵魂穿梭于不同的球面之间，分别受到或严格或宽松的限制，这就是神的不同程度的惩罚措施。这种模型的动机来源于当时的炼金术对于火以及神在创造太阳时的所作所为的认识。火的循环维持了宇宙的统一，而彗星正是生命之火在宇宙中扩散并为太阳补给燃料的手段。更详细的讨论可以参见：Simon Schaffer； J。 Hist。 Astronomy 9； 180–200 （1978）。
＇7＇ 关于这次演讲可参见最近的一本亥姆霍兹文集：H。 Helmholtz；Science and Culture： Popular and Philosophical Essays； ed。 D。 Cahan； University of Chicago Press； Chicago （1995）； p。 18。
＇8＇ 在20世纪中叶以前，“星云”一词都被天文学家们用来描述所看到的遥远天体发出的模糊光斑，其中既有恒星又有星系。例如，埃德温·哈勃就把星系称作星云。但在今天，天文学家仍然保留了“星云”的叫法，用来描述恒星周围充满了尘埃和气体的区域。尘埃和气体中的原子和分子与恒星发出的辐射相互作用，能够发出各种颜色的光。不同的情况有不同的叫法，如行星状星云（这个名字跟行星没有任何关系）、发射星云和反射星云等。人们最常拍摄的就是这些壮观天体，它们的照片常见于天文学杂志和海报。
＇9＇ 不久以后，瑞士数学家约翰·兰伯特（Johann Lambert，1728～1777）提出了一个类似的宇宙模型，认为恒星会聚集成不同尺寸的星系团，然后星系团再聚集成更高一级的星系团，依此类推。这和康德的无限大宇宙不同，兰伯特的模型虽然很大，却是有限的，而且是周期性的，其中每一级结团的图案都是一样的，像是一种分形结构。
＇10＇更多技术性讨论参见：Barrow and Tipler；The Anthropic Cosmological Principle； p。 620。
＇11＇如果一个系统在距中心为r的地方，物质的旋转速度为v，而且密度随半径的分布为ρ（r）的话，那么v2一定正比于ρ（r）r2。
＇12＇ I。 Kant；Universal Natural History and Theory of the Heavens； transl。 W。 Hastie； University of Michigan