（乘车）的3倍。
结果即为：爱丽丝应当在1/4的时间里乘车，另外的3/4的时间里走路，而鲍勃则应当1/2时间走路，1/2时间乘车。两人还应当利用一些合适的随机选择的方法来决定什么时候乘车，什么时候走路。鲍勃可以用抛硬币的方法来决定，而爱丽丝则可以用随机数表选择，或者是用游戏转轮，转盘上有3/4的区域对应走路，而1/4区域对应坐车。一旦其中任何一个人经常走路（或者乘车），那么另一方就可以做出更为有利的策略了。
记住，一定要让对方猜不透你的想法。正因为如此，在打扑克牌中，博弈论被浓缩为一定要故弄玄虚。如果你一有好牌就得意洋洋，坏牌就不吭声，对手就能很容易判断出你的牌了。
真正的扑克牌游戏是相当复杂的，无法用简单的博弈理论来分析。但是如果只考虑两个人玩一副牌的情况，如只有鲍勃和爱丽丝。并规定黑牌比红牌大。发牌之前，每人下底注5元，这样一局赌注总额就有10元了。爱丽丝先玩，她可以弃牌或者再加注3元，如果弃牌，两个人都将手中牌翻开，谁有黑牌谁赢（如果两人都有黑牌，或者都只有红牌，则两人平分赌注）。
如果爱丽丝再加注3元，鲍勃可以选择也加注3元跟注叫牌（赌注就有16元了）或者弃牌。如果他弃牌，则爱丽丝获得13元，如果他叫牌，则两人亮牌，看谁赢得那16元。
这样的话，如果爱丽丝手中是红牌，那她只能轮空，指望鲍勃同样也是红牌。但是如果她下注，鲍勃可能会认为她有黑牌。如果他刚好是红牌，就会弃牌，这样爱丽丝就会用一张红牌赢了鲍勃。所以说虚张声势有时会转败为胜。但是，也有可能是鲍勃知道爱丽丝是在虚张声势［毕竟她不是伍尔坎（Vulcan）］，这样他就会继续跟注了。
这样，问题就变成了爱丽丝该以多大的频率来虚张声势，而鲍勃又该以多大频率在她虚张声势时加注？也许天才的冯·诺依曼可以心算出这些结果，但是我想绝大多数人还是需要借助于博弈论的。
上面所举的这类博弈中，收益矩阵说明了两个局中人都有4种策略可选。爱丽丝可以永远地轮空，或永远下注，在红牌的时候轮空，黑牌的时候下注，或在黑牌的时候也轮空，红牌的时候也下注。鲍勃也可以这么做，永远弃牌，或永远跟注，或在红牌的时候弃牌，黑牌的时候跟注，或黑牌的时候弃牌，红牌的时候跟注。通过计算收益矩阵，可以知道爱丽丝应该在3/5的时间内下注，不论这时拿到的是什么牌，在另外的2/5的时间里，只有在拿到黑牌时才下注。相反的，鲍勃不管拿到什么牌，应该在爱丽丝下注的2/5的时间中跟注；在另外的3/5的时间里，就应该看牌行事了：红牌弃牌，黑牌跟注（顺便提一下，从博弈论的理论可以看出，这场博弈是不公的，如果爱丽丝总是先玩的话，她将得到特别的眷顾，运用博弈矩阵里所示的混合策略玩的话，能保证平均每把赢30美分）。
利用随机方法，从多种纯策略中进行选择并组成混合策略的思想正是冯·诺依曼证明最小最大化原理中的本质核心内容。通过选择正确的混合策略，在对手也精通博弈论的情况下，能够保证你获得可能获得的最大收益。如果对手不懂博弈论，那你可能会收益更大。
第七节 不仅仅是游戏
博弈论并不仅仅针对扑克牌或象棋游戏，甚至不仅仅关于经济学。它讨论的是做决策性的决定——不论是在经济中还是现实生活中的任何其他领域。任何人与人之间为了追求某种目标而相互竞争并交互作用的场合都是博弈论的用武之地，它可以清楚地描述使用各种不同策略所预期达到的结果。一旦你明确想要得到的结果，博弈论就可以计算出最合理的策略来实现它。如果你也赞同下面这个观点，即一群相互影响的人都在寻找他们的最佳策略，以获取自己心中渴望的东西，那么认为博弈论潜在地与指导人类行为的自然法则这个现代的观点相关就不难接受了。
冯·诺依曼和摩根斯特恩在书中并没有提及“自然法则”，但的确暗示了博弈论是对社会组织中的“社会秩序”或“行为标准”的描述。并且，他们还花重墨讲述了“社会现象理论”如何需要一种像博弈论中的数学一样，不同于物理学中所使用的数学方法。他们写道：“博弈策略中的数学理论的确很有说服力，因为它的概念与社会组织的概念存在着相通相似”。
不过，在最初阶段，博弈论只是被局限于处理真实世界中策略问题的一种工具。在现实生活中，你可以找到二人零和博弈的例子，但是这种例子要么简单得根本不需要动用博弈论，要么就是太复杂，博弈论根本无法考虑周全。
当然，指望一本书能够提出一个全新领域并解决这个领域内的所有问题，有些不现实。所以，在将博弈论应用于比二人零和博弈更复杂的情况时，冯·诺依曼和摩根斯特恩并不完全成功也就情有可原了。不过，没过不久，博弈论的力量就得到了实质性的加强，而这一切，要归功于约翰·纳什（John Forbes Nash）所带来的美丽的数学。
第三章 纳什均衡——博弈论的基础
纳什的非合作博弈理论被公认为20世纪人类最杰出的智力成果之一，其意义可与生物学界的DNA双螺旋结构的发现相媲美。
——经济学家罗杰·迈尔森
正如推荐信所言，无需冗繁的形容，只需简短的一句话：“此人是天才。”
这正是卡内基工学院的达芬（R。L。Duffin）教授对普林斯顿大学教员介绍纳什时的评价，年仅20岁的纳什于1948年以研究生的身份进入了该校。不到两年的时间，达芬教授的评价得到了证实。纳什的“美丽心灵”掀起了一场智力革命，并最终推动博弈论从一种时尚转变为整个社会科学的基础。
就在纳什来到普林斯顿的不久之前，冯·诺伊曼和摩根斯特恩以《博弈论与经济行为》一书开拓了新的数学领域，这是经济学界的路易斯安那购买条约，而纳什则扮演了路易斯和克拉克的角色。
事实上，纳什比路易斯和克拉克更少涉足政治。精神疾病剥夺了他的理性，而数学却昭示了他理性的精华。尽管如此，在其漫长的科研生涯别离之前，纳什成功地引导博弈论走向数学均衡的命运。虽然最初并不受欢迎，但是纳什的方法最终获得了大部分理论经济学家的认同，并使他摘取了1994年的诺贝尔经济学奖的桂冠。那个时候，博弈论已经应用于进化生物学并且在政治科学、心理学和社会科学中占了一席之地。在纳什诺贝尔奖光环的影响下，博弈论渗透到人类学、神经科学，甚至物理学之中。毫无疑问，纳什的数学方法使博弈论在科学世界中的广泛应用成为可能。
“纳什带领社会科学走向了一个新的世界，使对各种情况下的冲突和合作的研究有了统一的分析方法。”芝加哥大学的经济学教授罗杰·迈尔森（Roger Myerson）这样写道，“纳什确立的非合作博弈理论已经发展成了一种有效衡量动机的算法，它能够帮助我们更好地了解无论在任何社会、政治或是经济背景下的冲突和合作问题的实质。”
因此可以毫不过分地这样说，事实上，纳什的数学方法提供了建立当代“自然法则”的基础。当然一切并非如此简单。从创立之初，在其整个发展过程中博弈论都备受争议。如今它仍为一些人所信奉，而为另一些人所轻视。一些人宣称他们找到了驳倒博弈论的实验证据；另一些人则提出他们的实验结果发展了博弈论，并对其做出了修正。无论如何，博弈论已在如此众多的科学领域中扮演着重要的角色，它再也不会像最初创立时那样被人们所忽视。
第一节 初创时的冷遇
当冯·诺伊曼和摩根斯特恩将博弈论作为数学方法引进经济学时，激起了不小的风波。然而，大多数经济学家却并不为所动。20世纪60年代中期，经济学届的泰斗保罗·塞缪尔森（Paul Samuelson）大加赞赏冯·诺伊曼和摩根斯特恩的著作在其他领域的洞识和影响力。塞缪尔森写道，“这本书达成了除了它的初衷——对经济学理论进行变革之外的一切目标”。
对于《博弈论与经济行为》一书，经济学家们并非充耳不闻。在它出版后的几年时间里，社会学和经济学的杂志对其进行了广泛的评论。比如，在《美国经济评论》中，里奥尼德·赫维克兹（Leonid Hurwicz）称赞该书“眼界开阔”并且“思想深刻”。“冯·诺伊曼和摩根斯特恩的新方法似乎拥有巨大的潜力，人们希望它可以从现实主义的角度修正和丰富大量经济学理论，”他写道，“但从很大程度上来说，它们只是可能性：能否转换为现实仍要依赖将来的发展。”一本数学杂志对这本书进行了更为热情的评论，一位评论家这样写道：“后人将把这本书视为20世纪前半叶最主要的科学成就之一。”
博弈论很快在世界范围内得到了广泛认同。1946年，冯·诺伊曼和摩根斯特恩的著作登上了《纽约时报》的封面；3年后，《财富》杂志又以主要版面对其进行了报道。
博弈论从一开始，也得到了对其在经济学之外应用的认同——如冯·诺伊曼和摩根斯特恩所强调的，它基本上是人们所长期探索人类行为的理论。赫维克兹在他的评论中指出，“作者用于解决经济问题的方法可以有效地推广至政治科学、社会学，甚至军事策略。”诺贝尔奖提名获得者赫伯特·西蒙（Herbert Simon）在《美国社会科学杂志》上发表了类似的评论：“博弈论的研究者……将从阅读中获得丰富的应用知识……将博弈论作为分析社会科学的基本工具。”
然而，博弈论在其建立初始也显现出了严重的局限性。冯·诺伊曼解决了二人零和博弈，但对多人博弈问题仍无法解决。如果只是鲁宾逊·克鲁索和星期五玩游戏，博弈论可以很好地被应用，但它无法精确解决盖里甘岛问题。
冯·诺伊曼用于解决多人博弈的方法是假定这些人之间会形成联盟。如果盖里甘、船长和玛丽安娜组队来对抗教授、豪厄尔斯和金哲，那么就可以应用二人零和博弈的简单规则。博弈可能涉及很多人，但如果他们分成两队，在数学分析中就可以用队伍来替代多个个体了。
但是，正如后来的评论家所提到的，冯·诺伊曼的方法存在着矛盾，使博弈论的内在完整性遭到了破坏。二人零和博弈的核心是选择一个你所能做的最优策略来对抗一个理性的对手。你的最佳选择是不管对手做什么，都采取你自己的最优（很有可能是混合的）策略。但如果在多人博弈中形成了联盟，如冯·诺伊曼相信的那样，你的策略就必须依赖于与他人的协调。无论如何，当博弈论应用于非零和情况下的多人博弈时——也就是应用于现实生活时——还需要补充一些最初的博弈论所不能提供的理论。这正是约翰·纳什所为我们带来的。
第二节 美丽的数学
《美丽心灵》一书对纳什的数学方法仅为有限的介绍，特别对其之后在众多科学领域的显著作用也介绍得颇为简单。但此书展示了很多纳什个人生活中的困扰。西尔维亚·纳萨（Sylvia Nasar）对纳什的描绘并无粉饰之意，纳什被描绘成不成熟、以自我为中心、傲慢自大、不够体谅、健忘。但是，他聪颖过人。
1928年，纳什出生于西弗吉尼亚的煤矿小镇布鲁菲尔德。上高中时，他表现出了对数学的兴趣（甚至参加了当地大学的一些进修课程），他决定要和父亲一样，成为一名电气工程师。但是当纳什进入位于匹兹堡的卡内基工学院（卡内基技术学院）时，他选择了化学工程作为自己的专业。他很快将兴趣投向了化学，但并未持续太久。纳什无法从摆弄实验器材中找到乐趣，最终转向了自己所擅长的学科——数学。
他第一次将数学和经济学联系在一起是在卡内基工学院修一门国际经济学的本科课程时。在那门课上，纳什写了一篇论文，其中涉及的观点后来被称之为“讨价还价问题”。正如之后观察家们提到的，这篇文章显然出自一个少年之手——并非因为它观点天真，而是因为这篇文章里谈及的讨价还价都是关于一些诸如球、球拍和袖珍小刀之类的东西。但是，文章中蕴含的数学原理却涉及到更为复杂的经济环境。
1948年，当纳什到来之时，普林斯顿已是博弈论的全球研究中心。冯·诺伊曼在距大学1公里的高级研究院任教，摩根斯特恩则是普林斯顿经济学系的一员。在普林斯顿数学系，一群年轻的博弈论爱好者们已经开始积极地探索冯·诺伊曼…摩根斯特恩理论的新领域。纳什参加了一个由阿尔伯特·乌·塔克（Albert W。Tucker）主持的博弈论研讨会，同时也在独自探索着博弈论的启示。
入学后不久，纳什就意识到他在本科时关于“讨价还价”问题的想法代表了一种新的博弈论观点。他准备了一篇论文发表（在冯·诺伊曼和摩根斯特恩的帮助下，他们“对文章给予了非常有用的建议”）。
“讨价还价”体现了博弈论的另外一种表述形式，博弈者们有着共同的利害关系。在二人零和博弈中，赢家获得的就是输家输掉的，而与之不同的是，讨价还价博弈提供了一种双赢的可能。在这种“合作性”博弈理论中，对所有人来说目标都是自己做得最好，但不必以牺牲他人利益为代价。好的议价结果是双赢。一种典型的现实生活的讨价还价场景就是公司和工会间的谈判。
在纳什的“讨价还价”博弈论文中，他讨论了存在多种途径达到互惠结果的情形。问题是找到一种使双方的利益（或效用）最大化的方式——其前提是双方都是理性的（知道如何量化他们的期望），是具有同等技能的协商者，并且都了解彼此的期望。
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