总存在一些命题我们可以看到是真的，但用形式主义者提出的上述过程不能赋予真理值为真的命题。一个严格的形式主义者试图躲开这个情况的可能方法也许是根本不提真理的概念，而仅仅讲在某一固定的形式系统中的可证明性。然而，这显得非常局限。由于哥德尔论证的基本点利用关于何者实际上为真的何者不真的推理，人们甚至都不能作出上述的论证2。一些形式主义者采用更“程序化”的观点，断言不去忧虑诸如Pk（k）这样的陈述，由于它们作为算术命题来讲极端复杂和乏味。这些人会宣称：
是的，存在一些诸如Pk（k）的古怪的陈述，对于这些陈述我的可证明性或真理的概念不和你们的真理的内禀概念相符合。但是那些陈述却不会在严肃的（至少在我所感兴趣的那种）数学中出现。这是因为作为数学而言，这样的陈述是荒谬绝伦地复杂和不自然。的确，像P（k）这样的作为关于数的数学描述的命题，被全部写出时，会是极端繁琐和古怪的。但是近年来，人们提出了一些具有非常可接受特性的相当简单的陈述，它们实际上等价于哥德尔类型的命题3。这些命题不能从正常的算术公理得到证明，而是从公理系统本身所具有的 “显然正确”的性质而来。
对我来讲，形式主义者对“数学真理”缺乏职业的兴趣，似乎是对数学哲学所采取的非常古怪的观点。而且，也确实不是那么切合实际。当数学家在进行推理时，他们没必要继续不断地检查他们的论证是否可按照某个复杂的形式系统的公理和步骤法则来表达。他们只要肯定其论证是确定真理的有效方法即可。哥德尔的论证是另一类有效步骤。这样我似乎认为，Pk（k）正和能利用预先给出的公理和步骤法则更传统地得到的数学真理一样好。
建议进行如下步骤。我们把Pk（k）接受为真正有效的命题，并简单地表示为G0；这样可以把它作为一个额外的公理加到系统中去。当然，我们新的修改的系统又有了它自己的哥德尔命题，譬如讲G1，它又是一个完全有效的关于数的描述。我们相应地又把G1加到我们的系统，由此得到进一步修改的系统，它又有自己的哥德尔命题G2（又是完全有效的），我们又把它合并进去，得到了下一个哥德尔命题G3，再合并等等，无限次地重复这一过程。当我们允许使用整列的G0，G1，G2，G3……作为附加的公理时，结果的系统是什么呢？它可以是完备的吗？由于现在我们有了一个无限制（无限）的公理系统，哥德尔步骤能否适用也许不太清楚。然而，不断附加哥德尔命题是一个完全系统化的方案，我们可将其当作通常的公理和步骤法则的有限的逻辑系统来重述。这一系统又有它自己的哥德尔命题，譬如讲Gw，它又能被用来作为公理去附加，而形成了所得到的系统的哥德尔命题Gw＋1。正如上面那样重复，我们得到了命题Gw，Gw＋1，Gw＋2，Gw＋3……的表，所有都是关于自然数的完全有效的陈述，并可附加到我们的形式系统中去。这又是完全系统化的，它导致一个包罗这一切的新系统；但是它又有自己的哥德尔命题，譬如讲Gw＋w，我们可将其重写成Gw2，而整个步骤又可重新开始，我们得到一个新的无限的、却是系统的公理Gw2，Gw2＋1，Gw2＋2等等的表，它又导致一个新的系统以及一个新的哥德尔命题Gw3。重复这整个过程，我们得到Gw4然后还有Gw5等等。现在这一步骤又是完全系统化的，并具有自身的哥德尔命题Gw2。
这会有终结吗？在一种意义上讲没有；但它导致我们进入不能在此作细致讨论的某些困难的数学考虑。1939年阿伦？图灵在一篇论文4中讨论了上面的步骤。事实上，令人印象深刻的是，任何真的（但普适量化的）
算术命题都可由这类重复的 “哥德尔化” 步骤得到！ 可参阅飞费曼 （1988）。
然而，这在一定程度上依赖于我们如何实际上决定一个命题真伪的问题。
在每一阶段关键的问题是如何把哥德尔命题的无限族合并，从而提供一个单独的（或有限数目的）附加公理。这就要求我们的无限族能以某种算术的方式被系统化。为了保证正确地完成所预想的系统化，我们要使用系统之外的直觉――正如我们首先为了看到Pk（k）是一道真的命题所做的那样。正是这些直觉是不能被系统化的――它必须超越于任何算法行为！
我们利用直觉得出哥德尔命题Pk（k）实际上是算术中的真的陈述，是被逻辑学家称之为反思原理步骤的普遍类型的一个例子：这样，由“反思”公理系统和步骤法则的意义，并使自己坚信这些的确是得到数学真理的有效方法，人们可能把这直觉编码成进一步的真的、不能从那些公理和法则推导出来的数学陈述。正如上面概述的，推出Pk（k）的真理性依赖于这样的一个原则。另一个与原先哥德尔论证相关（虽然在上面没提及）的反思原则依赖于如下的事实去推出新的数学真理，即我们已经相信能有效得到数学真理的公理系统实际上是协调的。反思原理经常涉及有关无限集合的推理，人们使用的时候一定要小心，不要过于接近会导致罗素类型佯谬的论证。反思原理为形式主义推理提供了反题。如果人们很小心的话，就能使他跳出任何形式系统的严格限制之外，并得到原先似乎得不到的新的数学洞察。在我们的数学文献中会有许多完全可接受的结果，其证明需要远远超越原先的算术标准形式系统的法则和公理的洞察。所有这些表明，数学家得到真理判断的心理过程，不能简单地归结为某个特别形式系统的步骤。虽然我们不能从公理推出哥德尔命题Pk（k），却能看到其有效性。这类涉及反思原理的“看见”需要数学的洞察力，而洞察不是能编码成某种数学形式系统的纯粹算法运算的结果。我们将在第十章再回到这个论题上来。
读者也许会注意到在建立Pk（k）“不可证明性”的真理和罗素佯谬的论证之间的相似性，还和图灵解决停机问题的图灵机不存在的论证也有相似性。这些相似性不是偶然的。在这三者之间存在有强大的历史连接的脉络。图灵是在研习哥德尔工作之后才找到它的论证的。哥德尔本人非常熟悉罗素的佯谬，并能把这一类将逻辑延伸得这么远的佯谬的推理转化成有效的数学论证。（所有这一切论证都起源于前一章100页描述的康托的“对角线删除法”。）
为什么我们应该接受哥德尔和图灵的论证，而必须排斥导致罗素佯谬的推理呢？前者更直截明了得多，作为数学论证而言更出人意表，而罗素佯谬则依靠牵涉到“巨大”集合的更为模糊的推理。但是必须承认，其差别并不真像人们以为的那么清楚。弄清这些差别的企图是整个形式主义观念的强大动机。哥德尔的论断表明，严格的形式主义者的观点是不能成立的，但他没有向我们指出另外完整的可信赖的观点。我认为这问题仍未解决。当代数学中为了避免导致罗素佯谬的“巨大的”集合的推理的类型所实际采用①的步骤不能完全令人满意的。而且，它仍然试图以明晰的形式主义的术语来表达，换句话说，按照我们并不完全相信不会出现矛盾的术语来描述。无论情况如何，依我看来，哥德尔论证的清楚推论是，数学真理的概念不能包容于任何形式主义的框架之中。数学真理是某种超越纯粹形式主义的东西。甚至即使没有哥德尔定理，这一点也是清楚的。在我们去建立一个形式系统任何试图中，如何决定采取什么公理和步骤法则呢？我们在决定采取法则的指导总是，在给定系统的符号的“意义”下对何为“自明正确”的直觉理解。根据关于“自明”和“意义”的直观理解，我们如何决定采用哪个形式系统是有意义的，哪个是没意义的呢？以自身具有一贯性的概念来决定当然不够。人们可以有许多自身具有一贯性但在含义上没有“意义”的系统，它们的公理和步骤法则具有错误的意义，或者根本没有意义。甚至在没有哥德尔定理时，“自明”和“意义”的概念仍然是需要的。
然而，若没有哥德尔定理，人们可能想象“自明”和“意义”的直觉① 虽然费马的全部命题F 的真伪性仍然未知， 但是个别命题G（0）， G（1）， G（2）， G3S（3）， …直到大约G（125000）的真理性是已知的。也就是说，已经知道没有任何一个立方可以是正数立方的和，没有一个四次方为四次方之和等等，直到相应的关于125000次方的断言。（见66页的译者注脚）。概念只要在开始建立形式系统时用一次就好了，而此后就与决定真理的清楚的数学论证不相干。那么按照形式主义者的观点，这些“模糊的”直觉概念在发现适当形式的论证时，作为数学的初步思维、或者导引而起作用，而在实际展示数学真理时不起作用。哥德尔定理表明，这个观点在数学基本哲学中不能真正站住脚。数学真理的观念远远超越形式主义的整个概念。关于数学真理存在某些绝对的“上帝赋予”的东西。这就是在上一章结尾处讨论的柏拉图主义。任何特定的形式系统都具有临时和“人为”的品格，在数学的讨论中，这类系统的确起着非常有价值的作用，但是它只能为真理提供部分（或近似）的导引。真正的数学真理超越于人为的构造之外。柏拉图主义或直觉主义？
我已指出了数学哲学的两个相反的学派，我强烈地赞成柏拉图主义，而不赞成形式主义观点。我的划分实际上是非常朴素的。可以对此观点进行许多细致的推敲。例如，人们可以争论在“柏拉图主义”的总名称下，数学思维的对象是否在任何实际的“存在”，或者它只是绝对的数学“真理”的概念，我不想在此做任何鉴别。依我看来，数学真理的绝对性和数学概念的柏拉图存在性本质上是等同的一件事。例如，必须归于孟德勒伯洛特集的“存在”是其“绝对”性质的特征。阿伽德平面上的一点是否属于孟德勒伯洛特集是一个绝对的问题，与哪个数学家哪台电脑在作考察无关。正是孟德勒伯洛特集的“数学家无关性”赋予它柏拉图式的存在。而且，它最精细的细节超过了我们目前使用电脑所能得到的的极限。那些仪器只能得到具有更深刻的自身的“电脑无关”存在结构的近似。然而，我很欣赏对此问题的许多其他合情理的观点。在此我们不必过于忧虑这些差别。
如果的确有人声称自己为柏拉图主义者，他究竟愿意把柏拉图主义贯彻到何等程度，也有观点上的不同。哥德尔本人是一个非常强烈的柏拉图主义者。我迄今所考虑的数学陈述的类型是相当“缓和的”5。特别在集论中可引入更令人争议的陈述。当考虑集论的所有分支时，就会遭遇到构造极其庞大的模糊的集合，以至于像我这样坚定的柏拉图主义者都会怀疑其存在或它为“绝对的”东西6。也许会面临着这样的阶段，集合具有如此繁复以及概念上可疑的定义，以至于有关它们数学陈述的真伪问题开始具有某种“个人品味”而非“上帝赋予”的品质。人们是否准备和哥德尔一道把柏拉图主义坚持到底，要求关于这么巨大集合的数学论述的真伪总为一个绝对的或“柏拉图”的事体，或者人们在某处停止，只有当集合为合理地构成并且没有这么巨大时才寻求绝对的真伪的解答，对我们的讨论关系并不重大。以我刚刚提到的标准看，对于我们具有意义的（有限或无限）集合，真是不可思议的微小！这样我们不必关心在这些不同柏拉图主义观点之间的差异。然而，存在诸如称为直觉主义（或称作有限主义）的其他数学观点，它走到拒绝任何无限集合的完整存在的另一极端①。直觉主义是1924年由荷兰数学家L．E．J．伯鲁尔作为对某些（诸如罗素的）佯谬的与形式主义相区别的响应而倡导的。这些佯谬是由于在数学推理中太过自由地应用① 当形式系统具有k＋1 个不同符号加上从未用过的新的“零”时，我们可把字典编序认为是“k＋1 进位”
的自然数的通常顺序。这是因为以零开始的数和这前面的零被略去的同一个数一样。共有九个符号的串的简单字典顺序可以用通常的没有零的十进位写出的自然数得到：1，2，3，4……、8，9，11，12，……，19，21，22……，99，111，112，……。无限集合所引起的。这种观点的根源可追溯到亚里斯多德。他虽然是柏拉图的学生，却否定柏拉图关于数学本体的绝对存在和无限集合的可接受性。直觉主义否认（无限或其他）集合自身的“存在性”，而集合仅仅被当作可能确定其成员的规则。伯鲁尔的直觉主义的一个特征是排斥“排中律”。该定律宣称，一个陈述的否定之否定等效于该陈述。（可用符号表示为～（～ ） ， P P ？这是我们上面遇到的关系。）也许亚里斯多德会对在逻辑上如此“显明的”
东西受到排斥感到不悦！排中律按照“常识”被认为是自明的真理：如果某事物不真的断言是错的，则该事物一定是真的！（这一个定律是被称作反证法的数学步骤的基础，参阅67页。）但是直觉主义者发现他们能推翻这一个定律。这基本上是因为他们对存在的概念采取不同的看法，他们要求一个确定的（智力上的）构造必须是数学对象实际存在性被接受的先决条件。这样，对于直观主义者来说，“存在”的意思是“构造存在”。在一个用反证法来进行的数学论证中，人们提出某种假设，试图去显示出它的推论会导致一个矛盾，这个矛盾为问题中假设的谬误提供了所需的证明。此假设可采用这样的一个陈述，具有某些必须性质的数学事体不存在。
当这个陈述导致矛盾时，在通常数学中，他就推论说所需的事体的确存在。但是，这样的论证本身并没为实际构造这样的事体提供任何手段。对于直觉主义者来说，这类存在根本就不是存在。他们正是在这个意义上拒