为了研究这类问题，我们必须离开纯粹数学的领域，并在下面的章节中探求物理世界在实际上是如何行为的！注 释1．在考虑其成员又为集合的集合时，我们必须小心地区别那个集的成员以及那个集的成员的成员。例如，假定S是另一确定的集T的非空子集的集合，而T的元素是一个苹果和一个桔子。T就有“二性”而非“三性”的性质；但是S实际上有“三性”的性质；S的三个成员是：一个只包括一个苹果的集合，一个只包括一个桔子的集合以及包括一个苹果和一个桔子的集合――总共有三个集，这就是S的三个元素。类似地，其成员只有空集的集合具有“一性”而非“零性”――它有一个成员，也就是空集！空集本身当然只有零个成员。
2．事实上，哥德尔定理的推理可以用这种方式来表达，使之不依赖于诸如Pk（k）的命题“真理”的完全外在的概念。然而，它仍然依赖于某些符号的实在“意义”的解释：尤其是，“～ ”的真正 是“不存 意义在（自然数）……使得……”。
3．在下面用小写字母代表自然数，而用大写字母代表自然数的有限集合。令m…→〔n，k，r〕表示陈述“如果x=｛0，1…，m｝，它的k个元素的每一子集都被放到r个盒子里，则存在X的一个“大”的至少包含n个元素的子集Y， 使得所有Y的k元素子集都被放到同一盒里去。” 这儿 “大”的意思是Y中的元素数目比作为Y中的元素的最小的自然数还大。考虑如下命题： “对于任何选取的k，r和n，存在一个m0，使得所有大于m0的m，陈述m…→〔n，k，r〕总成立。”J？巴黎斯和L？哈林顿（1977）指出这一命题等效于算术的标准的（皮阿诺）公理的哥德尔型命题。这一道命题是不能从那些公理证明得到的，但是关于那些公理作了某些“显然正确”的断言正也就是，在这种情形下，从公理推断出来的命题本身是真的）。4．其题目为《基于序数的逻辑系统》，而且有些记者将会熟悉我用在下角标示代表康托序数的记号。使用我在上面所描述的步骤得到的逻辑系统的等级由可计算的序数来表征。
存在一些相当自然的和容易陈述的数学定理，如果人们试图用标准的算术的（皮阿诺）法则去证明，就需要使用在前面概述的“哥德尔化”步骤。这些定理的数学证明根本就不依赖于任何模糊或可疑的似乎处于正常数学论证的步骤以外那一类推理。参见斯莫林斯基（1983）。的最 “极端的” 的数学陈述 （虽然人们还经常考虑比这更极端得多的陈述）。
连续统假设，由于哥德尔本人和保罗J？柯亨确立了它实际上和集论的标准公理和步骤法则无关，而变得格外有趣。这样，对连续统假设的看法可用来区分形式主义者和柏拉图主义者。对于一个形式主义者而言，由于用标准的（策墨罗――弗兰克尔）形式系统既不能建立也不能否定连续统假设，所以是“非决定的”，把它叫做“真”的或“伪”的都“没有意义”。
然而，对于一个好的柏拉图主义者，连续统假设或是真的或是伪的，但为了确立它就需要某种新的推理形式――实际上甚至超出了对策墨罗――弗兰克尔形式系统使用哥德尔型命题的手段。（柯亨（1966）本人提出一种使得连续统假设成为“显然错误”的反思原则！）6．参阅鲁克尔（1984）的生动而不太技术性的有关论述。
7．伯鲁尔本人似乎部分地因为对自己的一个拓朴学的 “伯鲁尔固定点定理”证明的“不可构造性”忧虑，而开始沿着这个思路思考的。该定理断言，如果你取一个圆盘――也就是一个圆和它的内部――并且以一种连续的方式运动到它原先定位的区域的内部，那么在圆盘上至少有一叫做固定点的点，它刚好在自己开始的那点结束。人们也许不知该点准确地在何处，或者也许那里有许多这类的点，这个定理只是断言某一这类的点的存在。作为数学的存在定理而言，这实际上是一个相当“构造性的”定理。依赖于所谓的“选择公理”或“卓恩引理”的存在定理具有不同程度的非构造性 （参阅柯亨1966，鲁克尔1984）。伯鲁尔情形的困难和下面相类似：如果f为一实变量的实数值的连续函数，该函数既取有负值又取有正值，找到f取零值的地方。其通常的步骤是涉及到重复地对分f改变符号的区划。但是去决定f的中间值为正、负或零，在伯鲁尔需要的意义上可以不是“构造性的”。8．我们列出集合｛v，w，x，…，z｝，这里按照某种字典方案，v代表函数f。我们在每一阶段（递归地）检验看是否有f（w，x，…，z）=0，并且只有如果是这样的话，才维持命题 ， ，… 〔 ， ，…， w x z f（w xz）=0〕。9．最近妮诺？伯龙（由于受这本书初版精装本中我的议论所刺激）告诉我，她已能断定孟德勒伯洛特集（的补集）在下面注释10的特殊意义下的确是非递归的，正如我在正文中所猜测的那样。
10．存在实变量的实函数的可计算性的一种新理论（和传统的自然数变量的自然数函数相反），由伯龙、苏伯和斯马勒（1989）提出。我最近才注意到该理论的细节。该理论还适用于复函数，它可能和正文中提出的问题有重要的关系。这一新工作的一些结果赋予孟德勒伯洛特集在适当意义下为非递归的猜测以强大的支持。
11．这一特殊问题可更正确地被称为“半群的词语问题”。还有其他形式的词语问题，其法则略为不同，我们在此不予关注。12．汉弗（1974）和迈尔斯（1974）还指出，存在一个单独的（一个巨大数目的花砖）集合，它只能以不可计算的方式来镶嵌平面。13．事实上对于大的n，这一步骤的数目可用一些技巧减少到nlogloglogn――这当然还在P中。参见克奴斯（1981）有关的更多资料。14．更正确地讲，只对是/非类型问题（例如，给定a，b和c，a×b=c为真的吗？）P、NP和NP完备的族（参见165页）才被定义，但在正文中的描述对我们的目的已经足够。
15．严格地讲，我们需要是/非的模式，诸如：推销员是否有一条距离小于若干的路径呢？（见上面的注释14）。
第五章经典世界物理理论的状况
为了了解意识如何是自然的一部分，我们对自然的运行要知道哪些呢？制约身体和头脑组成基元的定律与此关系重大吗？如果真的像许多人工智能的拥护者所竭力说服我们的那样，意识理解仅仅是由算法所规定的，那么这些定律实际上是什么样子的则是无关紧要的。任何能够实现算法的仪器都一样好。另一方面，也许我们的知觉比可怜的算法更富有内容。
也许构成我们的确切方式正和实际上制约构成我们物质的物理定律一样重要。我们也许需要理解构成物体物质以及规定所有物体行为的根本性质。物理学尚未做到这一步。许许多多的秘密还有待揭示和探索。然而，大多数物理学家和生理学家却断言，我们已经拥有足够的关于通常尺度的、诸如人脑物体运作的物理定律的知识。作为一个物理系统，大脑毫无疑义是极端复杂的，我们对其结构的大部分细节和相应功能相当无知。但是少数人说，人们对作为构成其行为基础的物理原则的理解不存在任何重大缺陷。相反地，我在下面将持一种非传统的论点，也就是我们对物理学的理解，甚至在原则上还不足够用以描述我们大脑的运作。为了论证这一点，我首先必须概述物理学的现状。本章是关于所谓的“经典物理”，它包括牛顿力学和爱因斯坦相对论。此处“经典”基本上是指在1925年左右发现量子理论之前的占统治地位的理论。量子力学是由诸如普郎克、爱因斯坦、玻尔、海森堡、薛定谔、德布罗依、玻恩、约丹、泡利以及狄拉克的开创性工作的成果。它是一种不确定的、非决定性的、神秘的、描述分子、原子和次原子粒子行为的理论。相反地，经典理论是决定性的，这样，将来总是由过去所完全固定。尽管许多世纪以来对经典物理学的理解使我们得到了非常精确的图像，它仍有许多神秘之处。我们还必须考察量子理论（在第六章）。因为和大多数生理学家的观点相反，我相信量子现象似乎对大脑的运行是相当重要的――这些是下面几章的内容。
迄今为止科学已取得了引人注目的成就。我们只要环视四周即可见证理解自然帮助我们取得了何等伟大的威力。现代世界的技术大多是从大量的经验中推导出来的。然而，正是物理学理论以更基本得多的形式成为我们技术的基础。这正是我们在此所关心的。我们的理论是相当精确的。但其力量并不仅仅在此，而且在于异乎寻常地遵从精密的、微妙的数学处理的这个事实。正是这两者一道为我们带来了威力无比的科学。这个物理理论的大部分并不特别新颖。如果首先要挑选一个事件的话，那应该是1687年伊萨克？牛顿出版了《原理》一书。这本重要著作向人们展示了，如何仅仅从几个基本的物理原理出发，能够理解并经常以惊人的精度预言了大量的物理对象的行为。《原理》一书中很大部分是关于数学技巧的非凡的发展，尽管欧拉等人后来提供了实用的方法。）正如牛顿所坦率承认的，他自己的工作大大得益于更早期思想家的成果，其中最杰出者为伽利雷？伽利略、雷奈？笛卡尔以及约翰斯？开普勒。还用了一些更古老的思想家们所奠定的重要概念，诸如柏拉图、欧多索斯、欧几里德、阿基米德以及阿波罗纽斯等人的几何概念。我在下面还要更多地说到这些。
后来出现了对牛顿动力学基本框架的偏离。首先是十九世纪中叶由詹姆斯？马克斯韦发展的电磁理论。这个理论不仅包括了电场和磁场，而且还描述了光的经典行为1！此一杰出的理论将是本章后面所关注的课题。
马克斯韦理论对于今天的技术具有相当的重要性，并且毫无疑义地，电磁现象和我们大脑的工作密切相关。然而，和阿尔伯特？爱因斯坦名字联结的两种伟大的相对论对我们的思维过程是否具有任何意义，还没有这么清楚。亨利？彭加莱、亨德里克？安东？洛伦兹以及爱因斯坦为了解释当物体以接近于光速运动时所产生的使人迷惑的行为，从研究马克斯韦方程出发，提出了狭义相对论（后来赫曼？闵可夫斯基给出了精巧的几何描述）。爱因斯坦著名的E=mc2方程是该理论的一部分。但是迄今为止此理论对技术的影响（除了对核物理的效应之外）甚微，看来它和我们头脑工作的关联最多也只是外围的。另一方面，狭义相对论加深了我们对和时间本质有关的物理实体的理解。我们将会在后面几章看到，这给量子理论带来一些根本的迷惑，这些迷惑和我们对“时间流逝”的感觉有重要关系。况且，人们在鉴赏爱因斯坦的广义相对论之前必须理解狭义相对论。广义相对论是用弯曲的空间――时间来描述引力。迄今为止此理论对技术的效用几乎是不存在的①， 看来极端地假设其对我们头脑的功能有何相关真有点异想天开了！然而，值得注意的是，广义相对论的确和我们后面特别是在第七章和第八章的思考关系重大。在那里为了探索要获得量子理论首尾一贯的图像所必须的一些变动，我们要最彻底地研究空间和时间，――这些在后面还要更仔细地讲到！经典物理学的领域很广阔。量子物理学的情况又如何呢？和相对论不同的是，量子理论正开始剧烈地影响技术。其部分原因在于，它为某些技术上诸如化学和冶金等重要领域提供了理解。人们的确可以讲，正是因为量子理论赋予我们新的详细的洞察力，才使这些领域被包含在物理之中。此外，量子理论还提供了许多全新的现象，我想最熟知的例子便是激光。
量子理论的某些基本方面会不会在我们的思维过程的物理学中起关键的作用呢？我们关于更现代的物理学能说些什么呢？一些读者也许会想起那些激动人心的观念，包括诸如“夸克” （参阅177页）。 “GUT” （大统一理论）、① 王浩实际上考虑了稍微不同的问题――用方的花砖，不旋转，并且边缘颜色必须匹配，但是对我们这里这些差别并不重要。暴涨宇宙论（参阅402页的注释13）、“超对称”、“（超）弦理论”等等。将这些方案和我刚才提到的那些相比较又如何呢？我们是否也必须通晓这些呢？我相信，为了更清楚地透视，可将基本的物理理论分成三大类。我将这三类命名为：
1．超等的，2．有用的，3．尝试的。
本段之前所讨论的一切理论都必须归于超等类中。我并不强求只有该理论无可辩驳地适用于世界上的一切现象时才能称为超等的。但是，我要求在适当的意义上，该理论适用的范围和精确度必须是显著的。就我所理解的“超等”这个术语而言，居然会有属于这一类的理论存在，这真是极其令人惊异的事！我不知在其他科学中是否有理论可以归入这一类。也许达尔文和瓦拉斯提出的自然选择庶乎近之，但还差得相当远。我们在中学学到的欧几里德几何是一种最古老的超等的理论。古代人也许根本不将其当作一种物理理论，但实际上它的确是物理空间以及固体几何的卓越的理论。为何我将欧几里德几何归于物理理论而不是数学的一个分支呢？具有讽刺意义的是，现在我们知道，欧几里德几何不能当作我们实际生活其间的物理空间完全准确的描述，而这是采取这个观点的一个最清楚的原因！爱因斯坦的广义相对论告知我们，在引力场存在时，空间（――时间）实际上是“弯曲的”（也就是说不是完全欧几里德型的）。
但是这个事实并没损坏欧几里德几何的超等的资格。在一米的尺度上，与欧几里德的平坦性偏差的确非常微小，它比一个氢原子的直径还小！阿基米德，帕波斯和斯蒂文研究静态物体，并将其发展成个漂亮的科学分支――静力学，该理论可以合情合理地够�
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