艘桓龇浅Ｆ恋亩ɡ恚∷楣τ诮艹龅姆üЪ以忌颍苛跷�1809―1882）。该定律讲，相空间中的任何区域的体积在任何哈密顿演化下必须保持常数。（当然，由于我们的相空间是高维的，所以“体积”必须是在相应高维意义上来说的。）这样，每一个R1的体积必须和原先的R0的体积一样。初看起来，这给了我们的稳定性问题以肯定的答案。
在相空间体积的这层意义上，我们区域的尺度不能变大，好像我们的区域在相空间中不会散开似的。然而，这是使人误解的。我们在深思熟虑之后就会感到，很可能情况刚好与此相反！在图5。14中我想表示人们一般预料到的那种行为。我们可以将初始区域R0想象成一个小的、“合理的”，亦即较圆的而不是细长的形状。这表明属于R0的态在某种方面不必赋予不合情理的精确性。然而，随着时间的发展，区域R1开始变形并拉长――初看起来有点像变形虫，然后伸长到相空间中很远的地方，并以非常复杂的方式纠缠得乱七八糟。体积的确是保持不变，但这个同样小的体积会变得非常细，再发散到相空间的巨大区域中去。这和将一小滴墨水放到一大盆水中的情形有点类似。虽然墨水物质的实际体积不变，它最终被稀释到整个容器的容积中去。区域Rt在相空间中的行为与此很类似。它可能不在全部相空间中散开（那是称之为“爱哥狄克”的极端情况），但很可能散开到比原先大得极多的区域去。（可参阅戴维斯（1974）的进一步讨论。）
麻烦在于保持体积并不意味就保持形状：小区域会被变形，这种变形在大距离下被放大。由于在高维时存在区域可以散开去的多得多的“方向”，所以这问题比在低维下严重得多。事实上，刘维尔定理远非“帮助”
我们将区域Rt控制住，而是向我们提出了一个基本问题！若无刘维尔定理，我们可以摹想相空间中区域的毫无疑义的发散趋势可由整个空间的缩小而补偿。然而，这一个定律告诉我们这是不可能的，而我们必须面对这个惊人的含义――这个所有正常类型的经典动力学（哈密顿）系统的普适的特征9！
鉴于这种发散到整个相空间去的行为，我们会问，经典力学怎么可能作出预言？这的确是一个好问题。这种弥散所告诉我们的是，不管我们多么精确地（在某一合理的极限内）知道系统的初始态，其不确定性将随着时间而不断增大，而我们原始的信息几乎会变得毫无用处。在这个意义上讲，经典力学基本上是不可预言的。（回想前面考虑过的“混沌”概念）
图5。14尽管刘维尔定律告诉我们，随着时间演化相空间体积不变，但是由于该演化的极端复杂性，这个体积通常会等效地弥散开来。那么， 何以迄止为止牛顿动力学显得如此之成功呢？在天体力学中 （亦即在引力作用下的天体）其原因在于，第一，有关的凝聚的物体数目相对很少（太阳、行星和月亮），这些物体的质量相差悬殊――这样在估量近似值时，可以不必管质量更小物体的微扰效应，而处理更大的物体时，仅仅需要考虑它们相互作用的影响――第二，可以看到，适用于构成这些物体的个别粒子的动力学定律，也可以在这些物体本身上的水平上适用――这使得在非常好的近似下，太阳、行星和月亮实际上可以当作粒子来处理，我们不必去为构成天体的单独粒子的运动的微小细节去担忧10。我们再次只要考虑“很少”的物体，其在相空间中的弥散不重要。除了天体力学和投掷物行为（它其实是天体力学的一个特例）之外，只牵涉到小数目的粒子的简单系统的研究，牛顿力学所用的主要方法是根本不管这些细节的“可决定性地预言的”方面。相反地，人们利用一般的牛顿理论做模型，从这些模型可以推导出整体行为。某些诸如能量、动量和角动量守恒定律的准确推论的确在任何尺度下都有效。此外，存在可与制约单独粒子的动力学规律相结合的统计性质，它能对有关的行为作总体预言。（参阅第七章关于热力学的讨论；我们刚讨论过的相空间弥散效应和热力学第二定律有紧密的关系。我们只要相当仔细，便可利用这些观念作预言。）牛顿本人所做的空气声速的计算（1个世纪后拉普拉斯进行了微小的修正）便是一个好例子。然而，牛顿（或更笼统来说，哈密顿）动力学中固有的决定性在实际上适用的机会非常稀少。相空间弥散效应还有一个惊人的含义。它告诉我们， 经典力学不能真正地描述我们的世界！我说得有点过分了一些，但是并不太过份。经典力学可以很好地适用于流体――特别是气体的行为，在很大的程度上适用于液体――此处人们只关心粒子系统的“平均”性质，但是在对固体作计算时就出了毛病，这里要求知道更细节的组织结构。固体由亿万颗点状的粒子所组成，由于相空间弥散其排列的有序性应不断地降低，何以保持其形状大致不变呢？正如我们已经知道的，量子力学在理解固体的实在结构时是不可或缺的。量子效应可多多少少防止相空间的弥散（见第八章和第九章）。
这也和制造“计算机器”的问题相关。相空间弥散是某种必须控制的东西。相空间中对应于一个电脑的“分立”态的区域（例如前述的R0）不应允许其过度弥散开来。我们记得，甚至弗列得钦――托弗里“撞球电脑”需要某种外围的固体墙才能工作。包括许多粒子的物体的“刚性”正是需要量子力学起作用的某种东西。看来，甚至“经典”电脑也必须借助于量子物理学的效应才能有效地工作！马克斯韦电磁理论在牛顿的世界图像中，人们设想一个微小粒子靠一种超距作用的力作用到另一个粒子上。如果粒子不是完全点状的。可以认为由于偶尔的实际物理接触而互相反弹离开。正如我前面（193页）提到的，电学和磁学（古人即知道此两者的存在，威廉？吉尔伯特在1600年和本查明？佛兰克林在1752年分别进行了一些细节的研究）的行为和引力很类似。虽然同号的电荷（磁极强度）相互排斥而不是吸引，它们都以距离的反平方律衰减。这里的电磁力是由电荷（磁极强度），而不是由质量决定其强度。在这个水平上，将电学和磁学归并到牛顿理论中去并没有什么困难。光的行为也可以粗略地（虽然有某些困难）容纳进去。我们或者将光当作单独粒子（正如我们现在应称之为“光子”的那样）组成，或者把它当作某种媒质中的波的运动。在后一情况该媒质（“以太”）本身应认为是由粒子组成的。运动电荷会产生磁力的这一事实引起了额外的复杂性，但是这并没有把整个体系瓦解。大量的数学家和物理学家（包括高斯）提出了在一般牛顿框架中似乎满意的、描述运动电荷效应的方程组。第一位向这个“牛顿式” 的图像提出严肃挑战的科学家是英国伟大的实验家兼理论家米凯尔？法拉第（1791―1867）。
为了理解这个挑战的性质，我们首先要定义物理场的概念。首先考虑磁场。大部分读者都有过这样的经验，将一张纸放在磁铁上时，纸上的铁粉末具有特别的形态。这些粉末以一种令人惊异的方式沿着所谓的“磁力线”串起来。我们可以想象，即便粉末不在该处，磁力线仍在那里。它们构成了我们称之为磁场的东西。这“场”在空间的每一点都朝着一定的方向，亦即在该点力线的方向。实际上，我们在每一点都有一个矢量。这样，磁场就给我们提供了一个矢量场的例子。（我们可把它和上一节考虑的哈密顿矢量场相比较，但现在这一个矢量场是在通常的空间中，而不在相空间中。）类似地，一个带电的物体被一种称之为电场的不同种类的场所围绕；而且引力场也类似地围绕着任何有质量的物体。这些也都是空间的矢量场。
远在法拉第之前，人们就有了这些观念，它们已成为牛顿力学理论家的一部份武器。但是认为这种“场”中不包含实际物理物质的观点占优势。反之，它们被当作为某一个粒子放在不同的点时所作用的力提供一种必要的“薄记”。然而，法拉第深刻的实验发现（利用运动线圈、磁铁等等）使他坚信，电磁场是真正的“东西”，并且变化的电磁场有时会相互“排挤”到原先空虚的空间，以产生一种脱离物体的波动！他猜测到光也许就包括这类波动。这种观点背离了占统治地位的“牛顿智慧”。按照牛顿的观点，这类场不能在任何意义上被认为是“真实的”，而仅仅是作为“真正的”牛顿点粒子超距作用“实在”图像的方便的数学辅助物而已。面临着法拉第以及优秀的法国物理学家安德列？玛雷？安培（1775―1836）和其他人更早的实验发现，伟大的苏格兰物理学家兼数学家詹姆斯？克拉克？马克斯韦（1831―1879）对从这些发现产生的电磁场方程的数学形式感到疑惑。他以惊人的灵感，对这些方程作了初看起来似乎非常微小的， 但却是含义深远的改变。 这个改变根本不是由已知的实验事实 （虽然与之相协调）暗示的。这是马克斯韦理论自身所要求的结果，部分是物理学上的，部分是数学上的，还有部分是美学上的。马克斯韦方程的一个含义是电磁场的确在空虚的空间中相互“推挤”。振动的磁场产生振动的电场（这是法拉第的实验发现所隐含的）。而振动的电场又反过来产生振动的磁场（由马克斯韦理论推导得来的），并且这又接着产生电场等等。（这种波的详图见312页的图6。26和313页的图6。27。）马克斯韦能够算出这种效应在空间传播的速率――并且他发现这正是光的速率！此外，这些所谓的电磁波还展示出了很久以来就知道的于涉和令人困惑的极化性质（我们在第六章269，311页还要回到这些上来）。除了说明波长在一个特定范围（4―7×107米）的可见光的性质外，还预言了导线中电流产生的其他波长的电磁波。出色的德国物理学家亨利希？赫兹于1888年在实验上证实了这种波的存在。法拉第的富有灵感的希望在美妙的马克斯韦方程中的确找到了坚实的基础！虽然我们在这儿并不必了解马克斯韦方程的细节，稍微看看它们是什么样子的并没有什么害处：1cdivE = 4 divB = 0。
2？ ，πρ，？？
p？？
EtcurlB jBtcurlE = … = … 4此处E、B和j分别为电尝磁场和电流；ρ为电荷密度，c只是一个常数，也就是光速11。不必忧虑curl及div等项，它们简单地表示不同类型的空间变化。（它们是某种相对于空间座标的偏微分算符的组合。可以回想我们在讨论哈密顿方程时遇到的用符号？表示的偏微分运算。）在前面两个方程左边出现的算符？/？t实际上和用在哈密顿方程的点一样，其不同之处只是技术性的。这样？E/？t表示电场的变化率，而？B/？t表示磁场的变化率。第一个方程①说明电场如何按照磁场和电流在该时刻的行为而变化； 而第二个方程说明磁场如何按照电场在该时刻的行为而变化。第三个方程粗略地讲是反平方律的另一种形式，它是讲（该时刻的）电场必须和电荷分布相关；而第四个方程对磁场说同样的东西，除了在这情况下没有“磁荷” （或分开的“北极”或“南极”粒子）以外。
这些方程在下面这一点和哈密顿的很相像，即依据在任何给定时刻的① 严格地讲，这仅就将其近似地认为在作匀速直线运动，尤其是没有旋转时而言。地球的旋转的确有（相对小的）可探测到的动力学效应，最显明的即是北半球和南半球的风偏折方式不同，伽利略认为海潮的起因在于这种非均匀性。电场和磁场的值，它们给出了这些量对时间的变化率。所以马克斯韦方程和通常的哈密顿理论一样是决定论的。仅有的也是一个重要的差别是，马克斯韦方程是场方程而不是粒子方程。 这表明我们需要用无限个参数去描述系统的态（空间中的每一点的场矢量），而不仅仅需要像在粒子论中的有限的数目参数（每个粒子的三个位置和三个动量座标）。因此马克斯韦理论的相空间是无限维的！（正如我以前提到过的，一般的哈密顿框架，实际上可以包容马克斯韦方程。但由于这无限的维数，该框架必须稍微推广一下12。）
马克斯韦理论为我们的物理实在的图像添加上具有根本性的新的部分。我们必须接受场自身的存在，而不能把它仅仅当作牛顿物理中的“实在”粒子的数学的附属物。在这一点上它超越了我们的原先的理论框架。
马克斯韦的确向我们指出，当场以电磁波传播时，它们自身携带一定量的能量。他还给出了这种能量的显明的表达式。从一处传播到另一处的“脱离物体”的电磁波能传递能量的这一惊人事实，最终由赫芝在实验上探测到它的存在而被证实。这个事实虽然如此惊人，而现在却变成这么熟悉的东西了。可计算性和波动方程马克斯韦能直接从他的方程推导出，在没有电荷或电流（亦即在上述方程中j=0，ρ=0）的空间区域，所有电磁场的分量必须满足一称为波动方程①的方程。由于波动方程是有关于一个单独的量的，而不是电磁场的所有六个分量的方程，所以可视作马克斯韦方程的“简写”。它的解表现了类似波动的行为，并牵涉到诸如马克斯韦理论的“极化”（电场矢量的方向，见311页）等等其他复杂性。
因为波动方程及其可计算性的关系已被清楚地研究过，所以我们对它格外有兴趣。事实上，玛利安？玻依堪？玻―埃勒和因？里查德（1979，1981，1982，还可参阅1985）指出，尽管波动方程在平常的意义上具有决定性的行为，――亦即初态数据一被提供，则其他时刻的解即被决定――还存在某种古怪类型的可计算的初始数据，它使得在以后可计算的时刻被决定的场的值实际上是不可计算的。这样，此一似是而非的物理场论的方程（虽然不完全是在我们世界中实际成立的马克�