方拒绝无穷小量而在那个地方却不拒绝。在他有名的小册子，《分析家The Analyst》（“讲给一个异端的数学家”）中，伯克利（Berkeley）的主教在1734年说这些无限小的增量“……既不是有限的数量也不是无限的量，然而也不是零。我们也不可以称他们为过去数量的幽灵吗？”并且他问：“是否人类可以用科学的方法正确地继续进行，不用清楚的考虑他们熟悉的目标，计划的结果，和追求它的方法？”
从结论来证明问题已经正确的解决，这说明这个方法是确实可行的（如果这些权宜之计使用很好），严密不是数学而是哲学应该关心的事情；为了吸引人心，就象优美胜于合理（另外，这里的自相矛盾的话象基督教中的那些一样有用）。“Allez en avant et la foi vous viendra，”法国数学家达兰贝尔（d’Alembert，1717…1783法国数学家及哲学家，他定义了保持均衡和离心力的力学定律——译者注）说，“只管前进而信念就会随之而来。” 辩驳的语言有时是辩论的类比，有时可能歪曲辩论本身。因此，前所未知的天才，布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal），要求技巧运用到这些过程而不考虑逻辑，你看到的它们自身由技巧组成，精炼胜于详细阐述。另一方面，莱布尼兹十分小心谨慎回击尼温梯基德：然而这些让人感到麻烦的细小的微分线段就是他解决问题方法的本质技巧。
不使用罗盘和地图，靠感觉摸索前进，想把自己留在一个从未有人记载过的地方，这些人是真正的探险家。在他们的想象中，他们所在的区域是由无限多的极细的线组成的，或者去除大量的细线后保留它在想象中的形式，这些都是从内心来的信息，他们的能力既使世人感到震惊又使人感到安慰（可以不为他们的冒险担心）。牛顿告诉他的一个朋友：“在数学上，我努力使它变得难懂，避免那些一知半解肤浅的人来减弱数学的魅力。”
直到19世纪中期，最后看起来使人满意的一种理解方法在法国和德国发展起来——一个使人想到詹姆士·瓦特（James Watt）使用旧硬币的方法，他曾经在他的口袋中装着旧硬币，来随时检验活塞和他的蒸汽机上的气缸的配合程度是否合适：必要的缝隙必须小于他口袋里的六便士的厚度。
这个方法是工程师很容易的实现的，给定一个公差范围，想办法实现和检验是否满足公差的要求。无论你坚持它们如何接近一个数值，一个逐渐缩小的数字系列的和（例如我们收缩的三角形的边的比率）有一个明确的极限，通过指定某项或者它以后的任何一项，我都能向你说明它们确实是靠近或者更加的靠近这个极限。1是 的极限吗？是的，如果我能说明这个和可以任意地接近1。在百分之一范围内？只要将前面七项加起来，你将发现这个级数的和仅仅比1少 。千分之一范围内呢？同样如此：前十项加起来的和是 ，这个级数的和接近1的程度比千分之一还要小。
几个世纪以来，人们正通向这个制造的标准。无数的学生努力的去掌握微积分的知识，在教他们的老师中，相当多的老师回避这个精确度上的问题。然而为了它所有的精确和技巧，让我们想起了德国和美国之间开展竞争的一个故事，在第一次时间大战后期，一个美国的制造商给德国的一个竞争对手寄去了一个经过非常精细拉拔的电线，这是他们国家可以引以自豪的象征，他们可以做到很精细的电线。这根电线被寄回来的时候，德国人在这个细线中打了一个完美的孔！
老的极限概念中，靠近和整齐是这里的关键：一系列的数字慢慢的靠近一个固定的数字（在我们的例子中f（x）=x2，6是那些很接近点（3，9）的切线的斜率的极限）。减小必须是连续的：它不能有跳跃或者在通向这个目标时有间隔存在，并且你必须能够从两边中的任意一边减小到这个极限还能得到同样的结果（如果一个上升的山在一个悬崖处结束，就没有意义去讨论在悬崖边的斜率了）。一旦我们注意了这些学术上的细节，并且我们有了表示它们的方便的符号系统，神秘感（也许有一点魔力）就会从光滑曲线的斜率中消失。
一个过程——例如这个h缩小到0——在被严格论证之前就一直在数学中应用：从阿基米德开始，这种方法一再地被使用，因为它来源于直觉却可以被正确结果证明，你可能已经猜到，这种过程绝不是仅仅使用了一次。在所有的数学思想中有两个支柱，第一个就是思维的自由想象，我们观察大量的现象，然后从中发明出一些表达的方法，这些表达方法可以完美的表述它们之间的关系，同时和我们的其它发明不产生矛盾，又能使它们周围的事物变得很清晰，世界上的事物可以完美的和思维的描述符合起来，顺应事物独一无二的行为。
发明完成之后，第二个活动开始了，经历了从观察令人赞美的现象到能够证明思维能很好的描述这种现象。它的支柱集中在仔细、巧妙的考虑上，这样的考虑利用少数演绎法则，从中抽出他们的本质问题，从斯巴达（Spartan）公理的核心出发，使那些结论被世人认可（一个或两个合理的假定可以用这种方法发明，但是一旦它们的推动结束，它们的作用将减小到零）。这样做导致了什么结果？只有在允许一定的误差范围和模糊的概念条件下我们的结论才是正确的，那些遥远的地方和遥远的时间才能让我们去理解。
现在，我们正在使数学的很多深刻的概念变得统一起来（我们只能在20世纪逐渐看到），我们现在正在开展正式的工作，在这个工作中，我们不能使用一个独一无二的参考物：它可以用很多本质上不同的方法来描述（象那些可以自己组装的机器人玩具，一会儿是带机关枪眼睛的鳄鱼，过一会儿重新组装成圆滑的男管家，所有的这些都可以用一个或两个螺钉在操作手册的帮助下完成）。这就意味着我们不能从多数模型中挑选出这样的一个模型和事物存在的唯一方式：用一句不负责任的话说，我们甚至可以得出这样的结论，可能根本不存在这样的模型。我们思想的相对化超越了多数后现代主义者的过度的标记。
也许我们统一化的方法是有缺陷的。它可能也有限制。掉进了它自己相对化了的陷阱，它可能是许多合法方法中唯一的一个，因此另一个最好假定为不同的世界复制品。然而“复制品”意味着原物区别于它的复制品，但是我们在这里不能做出区别。满足形式系统的这些模型中每一个都不相同但都相当于我们的模型。许多模型都在出现，每一个模型看起来都有它的可取之处。
我们需要承认丰富的形式系统必将给予我们的巨大好处。它们排除错误的结论并将符合我们的公理，我们还可以把它们翻译成我们可以理解的语言。在这里，新的语言结构可以结合有益于更多结论的形式系统。你甚至可以继续宣称它的不明确是良性的，因为系统的一个隐藏的内容可能暴露出来，正象一个抵制几何学家的奉承问题可能屈服于代数学。
我们还必须承认这个系统的伪装阻止我们寻求事物存在方式的唯一性。那些结论通过我们无法描述而且确实不能掌握的方法中获得，并且他们天生的不能被形式化。对伯克利主教质问的回答，事实上，我们在开始的时候回答得很好，这个时候我们的目标、对象、和方法还不是很成熟，我们还在为确定问题的范围浪费时间：事物存在的唯一方式属于上午，因为，这个思想仅仅存在于上午这一半时间内——因此，我们当然不能期望他能经受起下午的严酷时光而幸存下来。世界可能不是仅仅比我们想象的异常，它可能比我们能够想象的更异常。
第三部分 费尽周折第29节 无穷小（3）
两个胜利，一个失败和遥远的雷声
和微积分一块出现的不仅仅是一个方法，这个方法可以抓住并控制变化，还有一种新的解决重要问题的思想。或者说这种思想不是新，我们仅仅是重新更新了这个思想，这个思想已经等了很长的时间来复兴？一个变化的模糊概念，就是我们最初在秘密交换复式簿记时听到的，此时在沿着一条曲线的切线滑行中嗡嗡作响。这个声音来自概念“极限”：一个作用（缩小的过程）指向一个目标（这个极限）——但是这个作用和目标的组成都是一种：数字。只要现在用等式符号标出这个模糊概念，我们可以例行公事地前进，就象进行和存在是相同的。极限必然伴随着过程，揭示它的形式：“A象B”中的B用来解释A。牛顿必须是最后一个魔术师，因为在他之后，已知的知识不再用来解释未知东西，而是用来（这种解释方法可能会花费伟人很大的努力来揭示它）解释自己。
微积分的宫殿摇摇欲坠，甚至一些最基本的问题都出现了漏洞，研究微积分的人们不得不加固这些基本的问题来托起这个伟大的宫殿。从微积分出发，自然世界的一个又一个领域都试图用微积分理论来解释：光学、流体力学、机械学；还有更远的，生物学、经济学——所有的科学，理论的的应用的。甚至我们的一个老谜团也由它的力量解决：因为这是我们对数字理解的一次革命，这次革命给不确定的 一个明确的意义。
我们这里的故事有一点欺骗。十七世纪晚期的一个人——我们应该叫他纪尧姆·弗朗克斯·安东尼·洛必达（Guillaume Francois Antoine ）侯爵？——考虑两个连续变化的函数，f（x）和g（x）（例如f（x）=2x和g（x）=3x）。他们的比率对于差不多任何x都有意义。在我们例子中，如果x=17那么f（17）=2·7=34而g（17）=3·17=51，因此 。对于你选择的几乎任意其它x，它都是2/3。几乎任意——但是不包括x=0，因为那样我们将得到 ，我们的老敌人。
然而，注意到的是：如果这些函数中的每一个在临界位置（我们的例子中，就是在x=0）都独立的有一个斜率——并且如果g（x）的斜率在那里不是零——那么它们斜率的比值就和这些函数自己的比值相等了！
把这个过程放进极限的语言中来看我们的例子：因为，当x接近0时，f（x）和g（x）的极限都是0（当x接近0时2x和3x都接近0）；并且因为f（x）=2x的斜率处处都是2而g（x）=3x的斜率处处是3；当x接近0时， 当x接近0的极限等于它们在（0；0）点的斜率的比值：这里就是2/3。一个函数的斜率的速记法是在它右上角处打一个小的垂直破折号（老的希腊用法的影子）——因此f‘（x）表示f（x） 在变量x出的斜率。那么我们将这个新发现简写为炼金术（化学式）的形式（用“lim”代表极限）
换言之， 是一个假象——在这个例子中，是 。
侯爵因为他的这个基本原则的发现而名垂千古，到现在这个发现还沿用洛必达法则这个名字。涉及我们历史的唯一问题——那就是我在开始告诉你们这个故事有一点欺骗的原因——是公爵先生既没有结论也没有证明这个问题。两者都是他的老师的杰作，约翰·柏努利（Johann Bernoulli），他显然甘心拿侯爵的利而放弃名。因为说到“洛比达法则”比“柏努利法则”多无限的小乐趣，我怀疑公平曾经充分给予这个著名胜利的作者。
记住， 的投降是有条件的：它仅仅是当斜率存在的情况下，它们的比率才有意义。否则，在我们成熟的数字世界，用零去除永远不可能。这不是把我们带回零本身是有问题的时代——除非你生活在宾夕法尼亚州（Pennsylvania）。因为在1998年五月，中心县的委员们投票来决定废除一项关于全部用零评估的所有的税收。因为这让当地学校伙食痛苦地缺少收入，他们通过他们的律师控告县政府，声称零不是一个值。他的证据是零让县里的估税员试图在他的便携计算器上用零去除。只有表示“错误”的“E”出现。
对于我们余下的人，零是——或者有——一个值。不管它是否是过程胜于目标，它是我们通过这些篇章一直追求的《难捉摸的她》。但是你能用零计算吗？这一定相当难以捉摸，因为科学作家迪克·特雷西（Dick Teresi）最近访问麻萨诸塞 （Massachusetts）技术学院，询问数学系人员的正是这个问题。当这个问题在走廊中回响时，他一直手持电话，直到最后回话说没有人能够真正明确地回答；总之，他们仅仅对1972年以后发明的数字感兴趣，因此他最好访问哈佛大学。
另外一个问题，你回忆一下，已经等待革命性的东西来回答它：00是0还是1或者是什么的问题。从我们的新观点出发，我们能够巧妙地归纳出什么导致我们的两个猜想。首先我们看这个极限，当x缩小到0，就是求x0的极限，我们相信答案必定是1：
更准确地说，缩小是从大数字到小数字：当x接近0时，我们从右边取极限，并且我们用书写表示：x→0＋。因此我们的结论是
我们求0x的极限（这次也是当x从右边接近0），并且这次，通过明智的例证，它应该是0：
表面上的每一个方法似乎同样正确，但是至少一个必须是错误的。
也许差别存在于结构的不对称：一个底数是变量，另一个是指数是变量。为什么不让二者同时变化，并在x从右边接近0时取xx的极限呢？通过灵活的应用——我们应该称它为什么，柏努利法则？——我们找到了一个明确的答案：
！
代替完全利用灵活方法，让我展示函数f（x）=xx的一个图像：
f（x）=xx
当沿x轴从右边向0移动时，你可以充分肯定曲线从凹处升起并接近1。
但是还要保持镇静，不要忘形。你记得几页前我说一个极限必须从任一方向逼近才有意义——而在这里我们看起来在我描述的