收入用于商品X，他可购买I/Px个单位的X。因此，这条线相对于X轴的斜率是Px/Py。从经济上说，这意味着，如果个人少购买一个单位的X，他就节省了数量相等于Px的货币。用这一数量的货币，他可购买Px/Py个单位的Y。Px/Py因此代表着商品Y可以用来替代商品X的比率。图中的阴影部分代表可实现的各种组合的区域。
再加上两条已经得到的边界线，我们看到，个人决不会停留在可实现的各种组合的区域内，而是将努力达到边界线上。均衡的条件是，个人选择位于最高的无差别曲线上，同时也位于可实现的组合所构成的线上的那一点。现在可以看清了假设无差别曲线关于原点呈凸性的理由了。如果无差别曲线是向原点处下凹的，那么，均衡点将位于两条轴中的一条之上，即我们将会看到人们在消费方面专一化。因此，我们将这一点排除了。如果无差别曲线在某些地方凸向原点，某些地方凹向原点，那么，个人就不会在无差别曲线凹向原点的任何部位处于均衡状态。因此，无差别曲线在经济上有意义的部分总是其凸向原点的部分。若各无差别曲线都是凸向原点的，则均衡点就是可实现的消费组合线正切于一条无差别曲线的一点。
如上所述，可实现的消费组合线的斜率是Px/Py，或者说是个人能够依以商品Y代替商品X的比率。类似地，对无差别曲线来说，如果个人放弃一个单位的X，他将失去约Ux个单位的效用。因此，为了使个人保持在同一条无差别曲线上，必须给他Ux/Uy个单位的Y。Ux/Uy因此表示了这个人愿意以Y代替X的比率。均衡的正切条件要Ux/Uy＝Px/Py，既然Ux/Uy从数量标明了无差别曲线相对于X轴的斜率。表述这一均衡条件的另一种方式是说：个人愿意以Y代替X的比率必须等于他能够以Y代替X的比率。
我们现在可以来看一下为什么前一节的三种效用函数能得出同样的需求曲线。所有三个效用函数能产生出同样的无差别图。例如，如果U＝F（X，Y）是效用函数，那么由这一效用函数产生的各条无差别曲线将具有的斜率是－＇aU/aX＇/＇aU/aY＇＝－Ux/Uy。如果我们取U的任何函数，譬如说U*，使U*＝G［U（X，Y）］，那么，由这一U*函数所给出的无差别曲线的斜率将是－＇dU*/dU＇Ux/＇dU*/dU＇Uy＝－Ux/Uy。由此我 们看出，所有这些效用函数将具有同样的无差别曲线。即使dU*/dU≤O，这一点也成立。dU*/dU＞O的条件是对于保证按同一方向排列是必要的。
刚才我们已经看到，无差别曲线是分割两个区域的一条分界线，一个区城包括那些与处于无差别曲线上的各种商品组合相比得不到偏好的各种商品组合，另一个则包括那些相比之下得到偏好的各种商品组合。无差别曲线的斜率是消费时的替代率。预算线的斜率则表示了购买时的替代率。预算线不一定就是直线。在一种鲁宾逊·克鲁索经济中，无差别曲线将和上面所描述的一样，但相应地却不是有一条预算线，而是将有一条转换线。这条曲线的斜率所代表的将不是市场上的，而是生产中的替代率。
无差别曲线作为工具的目的在于推导出需求函数，例如说，根据X的价格，Y的价格以及货币收入推导出X商品的需求函数。然而，显然若所有价格和收入都翻一番，个人的机会线将仍然不变。这意味着Px、Py和I的绝对水平并不重要，重要的是比率，如Px/I和Py/I。实际只有两个相互独立的变量。如果我们假定当收入增加时相对价格不变，我们就能得到作为收入的一个函数的X和Y的需求量。
例如，在图2．17中，假定了ABCDE线是平行于所划的那些可实现消费组合的各条线正切于无差别曲线的各点的轨迹。在AB线段，当收入增加时，X和Y的量都将增加；从B到C，当收入增加时，X的量增加，而Y的量减少；从C到D，当收入增加时，X和Y的量都增加；从D到E，当收入增加时，X的量减少，而Y的量增加。如果随着收入的增加一种商品的消费量也增加，则该商品称作优等品，而如果随着收入的增加，一种商品的消费量减少，则该商品称作劣等品。在上图中，在A和B以及C和D之间，X和Y都属于优等品；而在B和C之间，X属于优等品，Y为劣等品；在D和E之间，X为劣等品，Y为优等品。同样的结果可以如图2．18中那样以恩格尔曲线的形式表示出来。数量随收入变动的情况可以用数量相对于收入的弹性（通称收入弹性）或dq/dI·I/q来表示。如果dq/dI·I/q＞O，则相应的商品为优等品；如果dq/dI·I/q ＜O，则相应的商品为劣等品。如果dq/dI·I/q＜1，则花在该商品上的收入的百分比随收入的增加而减少；如果dq/dI·I/q＝1，则收入的百分比不变；如果dq/dI·I/q＞1，则花在该商品上的收入的百分比随收入的增加而增加。
我们已经指出过，收入弹性经常被用来定义必需品和奢侈品。如果一种商品的收入弹性小于1，则称之为“必需品”，如果其收入弹性大于1，则称为“奢侈品”。
对所有商品的单位收入弹性将意味着，在无差别曲线图上收入支出路径将是一条通过原点的直线。根据收入弹性的定义可得，kxηx1＋kyηy1＋…＝1，其中kx是收入中用于X的部分，ky是用于Y的，等等；而ηx1是X的收入弹性，ηy1是Y的收入弹性，等等。
无差别曲线分析中隐含的三分法
无差别曲线条件下的消费者行为分析隐含地将影响消费者行为的所有因素分为三类：（1）商品——这些是无差别曲线的各个轴；（2）决定机会的因素——这些被概括为预算线；（3）决定偏好的因素——这些被概括为无差别曲线。
关于这一划分方法的一件重要事情是，它并非是一成不变的。它是一种内容要由所研究的问题来决定的划分方法，因而，同一种因素对于一种研究目的来说可以按商品来对待，并用各条轴来度量它，对另一种研究目的来说就可能按照机会因素来对待，对再一种研究目的还可能作为偏好因素来对待。
为了说明这一点，考虑一下地区选择问题。对于一个正在考虑在哪里定居的人来说，这显然是一种商品，应在其中一条轴上来度量。当此人定居了以后，它就成了一种机会因素，既然它将影响此人对于各种商品和服务所须支付的价格，既然它可能影响此人赋予冬大衣相对于浴袍或赋予暖气相对于空调器的重要程度，因此，也是一种偏好因素。
从形式上说，所有这些方面都可以通过把地区选择作为在一条轴上度量的商品的方式来处理。对于每个地区选择，都有一个可实现商品组合的多维面与无差别曲面的交叉部分与之相对应。相对于一种地区选择的曲面交叉部分，可能对应于与另一种选择相应的交叉部分所对应的不同的机会和偏好。尽管这一点从形式上看完全正确，但是，这并不改变随问题的不同而发生的着重点的变化。
另一个有趣的例子是，一个家庭中的孩子数量。部分地说，父母在决定要多少孩子时都是深思熟虑的。对这个问题而言，孩子是选择的目标，是一种应该在一条轴上度量的“商品”。但是，一旦孩子出世，他们显然会影响机会（例如，看电影的费用将因额外支付婴儿保姆费而提高）和偏好。另一个也是非常重要的复杂变化是，图上出现了另一组无差别曲线——孩子的无差别曲线。
从无差别曲线推导需求曲线
现在可以来说明一下怎样可以从无差别曲线推导出需求曲线了。如果我们将货币收入保持不变，并允许X的价格变化，那么，如图2．19所示，价格比率线将绕Y轴上的一个中心点旋转。对X的不同的价格，我们将得到X的不同的需求量，这样就可以得到一条需求曲线，这实际上就是通常的方式。然而，在这种需求曲线中，当人们沿这条线移动时，实际收入也发生了变化。
还可以建立起另一种不同的需求曲线。考虑一组商品，Xo，Yo，并且通过这组商品画一条预算线。这条线可以绕该点旋转。这是试图使表面的实际收入保持不变的一种方式。这些线的方程是PxXo＋PyYo＝I。从图上看，这第二种方法如图2．20所示。对于固定的货币收入来说，这等于保持了货币的购买力不变。通常建立一种物价指数的方法是，把它作为一组特定商品的（相对）成本来计算。例如，如果这组商品由（Xo，Yo）构成，而且，如果在两种情况（两个时间单位，两种地理区域，等等）下的价格分别是（Px，Py）和（P’x，P’y），那么，在第二种情况下的物价指数相对于第一种情况而言就是P’xXo＋P’yYo/PxXo＋PyYo。但如果I是固定的，那么，对于所有通过这一点（Xo，Yo）的预算线来说，这一比率显然都是1，既然这时被除数和除数都等于I。
这些线对无差别曲线的切点构成一条需求曲线，就货币收入除以一种用前述方法计算出来的物价指数所得的“实际收入”相同这一点而言，对于该需求曲线来说，“实际收入”是不变的。
还有一种需求曲线可以通过考虑一组预算线与一条单一的无差别曲线相切而得到。相应的数量和相对价格将给出一条需求曲线，对这一曲线来说，“实际收入”在其效用的意义上是不变的。
这几种不同的建立需求曲线的方法之间的关系或许可以通过考虑所谓在所有其他价格和货币收入都不变的情况下，一种价格的变化所产生的收入效应和替代效应来更好地说明。在考虑这些问题的时候，我们希望区别“斯卢斯基”效应，即相当于绕（XoYo）点旋转预算曲线所产生的结果，和希克斯效应即相当于考虑一组预算线与一条单一的无差别曲线相切的结果。
看一下表2．4和图2．21。表2．4显示了收入效应的斯卢斯基测度和希克斯测度之间的差别。（a）和（b）之间的差别在于，当Y的价格和货币收入不变时，X的价格更低了。既然他将消费更多的X和Y，消费者显然生活得更好了。情况（c）是斯卢斯基称作从情况（a）开始的得到补偿的价格变化的那个东西。（c）中的收入比（a）中的少，其下降幅度恰恰足以使个人在X的较低价格水平上，能够购买同以前数量一样的X和Y，如果他愿意的话，50个单位X的现值是25美元，而不是50美元，而他现在的收入少了25美元。用斯卢斯基的话说，他的表面的实际收入没有变，但在新的价格水平上，这个人并不购买50个X和50个Y；他购买60个X和45个Y。既然他审慎地选择了后一组商品而非前一组，我们必须假定他偏好于后一组；结果是，他的“实际的”实际收入在（c）情况下比在（a）情况下高；他位于更高的无差别曲线上了。对希克斯来说，为了使这个人保持在同一条无差别曲线上，必须取走他足够的货币收入。我们可以假定，这将如情况（d）所表明的那样，要求取走28美元，这描述了一条同样与（a）情况中那条无差别曲线相切的预算线。除了在下述这方面有所不同外，即，不是表示出为补偿
表2．4
IPxPyXY
（a）100115050
（b）1001/218060
（c）751／216045
（d）721／215843
（e）1002／34／316045
（f）10050／72100／725843
相对价格的下降而形成的一种变化了的收入，而是表示出Y的变化了的价格——一种不变的“货币购买力”情况（e）和（c）一样。类似地，（f）和（d）一样，表示出在一种略为不同意义上的不变的“货币购买力”。
斯卢斯基测度的优点在于，它可以直接从可观察到的市场现象和行为即价格和购买量中求得，尽管在某种意义上它只是一种近似值。而希克斯测度则不然。希克斯测度不能直接求得，它要求进一步了解无差别曲线。价格变动越小，即表中的Px越接近1，则斯卢斯基测度和希克斯测度之间差别的意义就越小。
希克斯和斯卢斯基测度给出了具有使实际收入保持不变性质的需求曲线的两种构造方式。我们可以通过运用希克斯对实际收入变化的测度来导出一条需求曲线，这等于使一条无差别曲线形成扇形。或者我们也可以通过运用斯卢斯基对实际收入变化的测度来导出一条需求曲线，这等于绕点旋转一条线。可以说，斯卢斯基方法是使表面的实际收入保持不变的一种方法。图2．22说明了所讨论的三种需求曲线之间的关系：（1）普通需求曲线，在这一曲线上所有其他价格和货币收入都相同，而且作为一种结果，实际收入变化了；（2）通过（象希克斯那样）将个人保持在同一条需求曲线上而使实际收入不变的需求曲线；和（3）（像斯卢斯基那样）将表面的实际收入保持不变，而且使个人总能够购买最初的那组商品的需求曲线。
这三种需求曲线之间的差别通过参考图2．23将会看得更清楚。作为商品X价格变化的一个结果，我们有一次从P到Q或从X1到X4的运动。从X1到X4的这一运动就是包括在通常所定义的需求曲线中的那种运动。然而，从X1到X4的这一运动作为价格变化的一个结果是一次收入效应和一次替代效应的综合结果。如前所释，将需求曲线仅限制在替代效应上可能是需要的。我们可以用两种方式来分解从X1到X4的运动。按照希克斯的方式，我们可以说，从P到S或从X1到X2的运动是贸易条件变化或替代效应的一个结果。从S到Q或X2到X4的运动是收入变化的结果。因此，
总效应 收入效应 替代效应
（X4－X1）＝（X4－X2）＋（X2－X1）
这一方法在形式上比下面那种方法要简练，但它与可观察到的数量无关。
另一方面，我们可以试着按照斯卢斯基的方式利用可观察到的数量将收入效应和替代效应分离开。当个人处在P点时，他在价格Px和Py的水平上消费X1和Y1，而且将他们的全部货币收入都用于这些商品。如果X的价格从Px变化到Px十△Px（在所画出的图上，