我开始对函数论感兴趣。
如果说，变量这个概念是数学分析第一个基本概念，那么第二基本概念便是函数了。
的确，在我们这个无时不在变化的世界，还有什么比变量更重要的呢？！从一开始我就是从自然哲学的着眼点去看变量。
所谓函数就是：每门自然科学（其实还有社会科学）的目的，是去寻找一个变量（因变量）依赖于另一个变量（自变量）的规律。把它写成公式（数学符号）就是：
ｙ＝ｆ（ｘ）
其中ｘ为自变量，ｙ是因变量（即函数）。
后来我把这个记号（或符号）看成是整个西方哲学的标记，把太极图看成是中国哲学的象征。
领悟到这一点，是我在北大最后三年的重要收获之一：哲学世界观或世界哲学的收获。
我把它看成是我的一篇毕业论文。由于极左路线，教改乱哄哄，强调七分政治三分业务，贯彻“学生要在工厂、农村劳动中毕业”的方针，我们班在１９６１年初夏没有交毕业论文。但是我自己为自己完成了一篇。——也许是全世界最短的一篇。因为它只有上述两个符号。
这也开始显示、表明了我的思维方式或思路特点：善于进行“语言转换”，把具体成果，推广、上升到普遍世界的法则。它也开始显示出了我的思维方式的萌芽：从哲学角度去感受、把握一切：从音乐到数学和物理，再到建筑。
二、 数学力学系图书馆
由北大西校门进来，向右走１００多米，是大图书馆。再往右１００来米，是数学力学系。它由两座对称的姐妹楼阁组成，明清建筑风格，很典雅，四周都是绿化带，体现了原美国教会学校——燕京大学的气质。当年这种贵族气派同阶级斗争、一个接一个的政治运动和由此造成的自杀风是格格不入的，同数学的至善和高阶的美则是协调的。
左面那座阁楼便是数学力学系图书馆。我忘不了我在那里度过的日子，时１９５８年春至１９６１年夏我毕业。我是不定期地去光顾、朝圣。
是的，用“朝圣”二字最恰当。因为数学王国有种神性弥漫。我是冲着数学的神性、诗意和哲学才走进去的，蹑手蹑脚，怕打破那里的神性和宁静。我忘不了我第一次走进图书馆的情景。
那里的职员都很有教养、很有素质（这是我的直觉），估计是燕京大学的原职工。
“是新同学吧？”管理员问。
“是。”我回答。
他就再也没有盘问我，也没有查看我的学生证。也许根本就没有查看学生证这一条规定。是我多心。如果他知道我是西方语言文学系（简称西语系）三年级上学期的学生，他会对我说什么？会觉得怪吗？甚至会认为精神不正常？因为西方语言文学同数学相距太远太远！如果是走进历史系、哲学系和中文系图书馆，那是名正言顺，顺理成章的。
我第一次走进数学系图书馆去阅读，的确要点勇气。用今天的眼光去看我当年的勇气有两层涵义：
１． 外在的勇气。文科学生第一次走进理科图书馆。（后来我还闯进过物理系、生物系和地质地理系图书馆）
２． 内在的勇气。数学王国高深莫测。我能走进去吗？闯进去的目的是什么？如果真的有个高明的管理员盘问我：“你想到阅览室、书库看什么？你能看到、发现什么？”
一下子，我肯定会支支吾吾答不上来。
过一会，我会说：“走进去感受感受数学宏伟建筑的壮丽和气氛；感受感受伟大数学家究竟是怎样工作的？看看数学究竟是什么？或者用英文来说：ＷＨＡＴ ＩＳ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ？”
也许过了一年，即到１９５９年，我的回答会更明确些：“我是从自然哲学的着眼点去看数学。我想偷偷地从门缝中去看一下上帝建造世界的方针，因为伽利略说过，大自然这本神奇的书是用数学这种语言写成的。”
“我走进数学这座宏伟的哥特式教堂建筑，是为了朝圣，顶礼膜拜；是为了表达我内心的一种赞美和敬畏。”
“每个人都有资格表达自己内心的赞美和敬畏。在这一点上，人人平等。”
“在上帝面前人人平等；在老子庄子的大道或常道面前人人平等。上帝即常道、大道。”
这便是我在１９５９年的回答；也是１９５９年我所达到的水平，当然也是我的“哲学世界观”。
北大数学系图书馆拥有许多权威性的专业期刊，如：
１． “Ａｍｅｒ． Ｍａｔｈ． Ｍｏｕｔｈｌｙ”（美国数学月刊）；
２． “Ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈｅ Ｚｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔ”（数学杂志，德文版）；
３． “Ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈｅ Ａｎｎａｌｅｎ” （数学年鉴，德文版）；
数学王国的神性（3）
４． “Ｚｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔ ｆüｒ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈｅ Ｌｏｇｉｋ ｕｎｄ Ｇｒｕｎｄｌａｇｅｎ ｄｅｒ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｋ”（数理逻辑和数学基础杂志，德文版）；
５． “Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ”（数学评论）；
６． “Ｊ． Ｓｙｍｂ． Ｌｏｇｉｃ”（形式逻辑杂志）；
７． “Ｊａｈｒｅｓｂｅｒｉｃｈｔ ｄｅｒ Ｄｅｕｔｓｃｈｅｎ ＭａｔｈｅｍａｔｉｋｅｒＶｅｒｅｉｎｉｇｕｎｇ”（德国数学家协会年度报告，德文版）；
８． “Ｅｎｚｙｋｌｏｐⅲ洌椋濉。洌澹颉。停幔簦瑁澹恚幔簦椋螅悖瑁澹睢。祝椋螅螅澹睿螅悖瑁幔妫簦澹睢保ㄊЭ蒲О倏迫椋弧�
９． “Ａｍｅｒ． Ｊ． Ｍａｔｈ．”（美国数学杂志）；
１０． “Ｊ． Ｌｏｎｄｏｎ Ｍａｔｈ． Ｓｏｃ”（伦敦数学协会杂志）。
其中不少期刊是全套的合订本，创刊号常常是１９世纪的出版物，这更激起了我肃然起敬。由此可见北大图书馆馆藏的丰富。因为它集中了几所大学的馆藏（主要是老北大和燕京大学的家底），令我感动，惊讶。
翻开这些杂志，我的内心充满了一种敬畏感，有如一本圣书展现在我面前。是的，这是我的《圣经》。每个人心目中的《圣经》是不尽相同的。透过这些杂志（尽管９０％的文章我看不懂），我或多或少能感受到“上帝·自然”的存在。因为数学是上帝的语言。
从这些杂志，我主要阅读两类文章：大数学家的生平和工作；数学哲学。下面我就来分别谈谈我在这两方面的感悟和收获（读书笔记有两本）：
１． 大数学家生平和工作
这些文章给了我许多知识，更为重要的是自然哲学智慧。我渐渐明白：智慧高于知识。知识往往会过时，智慧的寿命则是千年，它与人类同在。
柏拉图特别看重几何学。他说：“不要让不懂几何学的人入内！”
这句箴言写在他主办的雅典哲学学园的入口处。我第一次读到这句格言，不是在别处，而是在北大数学系图书馆。我特别欣赏他的英译文：
“Ｌｅｔ ｎｏ ｍａｎ ｉｇｎｏｒａｎｔ ｏｆ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｅｎｔｅｒ ｈｅｒｅ！”
从此我知道了数学对哲学的重要性。当然还有物理学（实验物理加上理论物理）。
１８世纪法国伟大数学家拉格朗日（Ｊ．Ｌ．Ｌａｇｒａｎｇｅ， １７６３—１８１３）的创作准则给了我难忘印象。他说：当一位数学家走出他的书斋，把他得出的结果告诉他在街道上遇见的第一个人，并且让他明白这个结果，那末，这位数学家才算是完完全全弄懂了他自己的工作。”
当然这只是一种理想。其实拉格朗日所追求的是数学真理的简洁性、清晰性和明确性。这使我联想起白居易的创作风格：通俗平易，朴素浅显，反对艰深晦涩。这样白居易的诗歌便赢得了最广泛的读者，以致于当时“禁省、观寺、邮候、墙壁之上无不书，王公、妾妇、牛童、马走之口无不道……自篇章以来，未有如是流传之广者。”
也许由拉格朗日发现的“中值定理”便是一例。因为不久我便读到它的几何意义：明晰，清楚，简洁。
当我读懂了这条定理（它在整个微分学中占有重要地位）的时候，内心有种难以言表的激动或激情。我知道，这是对真理的追求怀有一种激情（ａ Ｐａｓｓｉｏｎ ｆｏｒ Ｔｒｕｔｈ）。在当年那种非理性、混乱和不正常的政治现实生活中，数学真理之光于我无疑是种高贵的鼓舞和安慰。在这里我要说明四点：
ａ． 北大有些阅览室的自然科学图书都是开架的。不管你是哪个系的学生，只要你乐意，便可随手把任何一本书取下来阅读。这是当年北大最有利于我成长和发展的环境。
为了吃透中值定理，我至少参照、比较了五本微积分教程。因为每本教程解释的角度、语言略有不同。我是“兼听则明”，“兼采众长”，“兼收并蓄”，最后达到融会贯通。——后来它便成了我自学数学的方法。
ｂ． 反右后北大的恶劣环境迫使我进一步退隐到自己的内心深处。这种心理也有利于我进入中值定理。因为我把数学王国看成是一种避难所，是一种拯救。
数学真理的惟一性、确定性和可靠性在我的内心深处可以构筑成一座坚不可摧的碉堡。
白居易的话是对的：“道屈才方振，身闲业始专。”
此处“道屈”即指艰难时世，命运坎坷。所以黑格尔才说：“哲学开始于一个现实世界的没落”；精神逃避到思想的空旷和深邃领域，建立起一个思想或观念的王国，以反抗混浊的世界。
没有比数学更空旷、更幽深的领域了！
ｃ． 那些年，我是随心所欲地阅读。精神非常自由。
我像个钟摆，在理科和文科这两头来回摆动：在理科呆得太久，怕冻僵；在文科停留的时间太长，又有被烧焦的危险。所以我总是在两头不断地来回波动，求得精神上的平衡，和谐，文科理科的统一。
ｄ． 后来我读英国杰出数学家和哲学家怀特海（Ａ．Ｎ． Ｗｈｉｔｅｈｅａｄ， １８６１—１９４７）的《科学与近代世界》（Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ Ｍｏｄｅｒｎ Ｗｏｒｌｄ）一书便恍然大悟。因为他是这样推崇数学和音乐的：这两样东西是人类性灵所能创造出来的最伟大的产物。
数学王国的神性（4）
这个一语胜人千百的命题给了我难忘印象，并使我终生受益。不过也只有我在１９５９年对音乐和数学有了一定的感受、体认之后我才能懂得怀特海提出的这个命题。不过我还想加进一样东西，而成为三位一体：
数学·理论物理·西方古典音乐
在北大最后三年，这三样东西占据了我６０％的时间，也是构筑我的内心堡垒三块非常重要的花岗石。若是抽掉这三块基石，我的内心要塞便会轰隆一声坍塌。
２． 数学哲学
从１９世纪末的一本德国数学杂志中（字体和纸张都显得古色古香），读到一篇有关德国著名数学家克罗纳克（Ｌ． Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ， １８２３－１８９１）的文章。克罗纳克给数、数学、数学家和上帝下了一个幽默、绝妙的定义：“亲爱的上帝创造了整个数，其他的一切都是人的劳作。”（Ｄｉｅ ｇａｎｚｅｎ Ｚａｈｌｅｎ ｈａｔ ｄｅｒ ｌｉｅｂｅ Ｇｏｔｔ ｇｅｍａｃｈｔ， ａｌｌｅｓ ａｎｄｅｒｅ ｉｓｔ Ｍｅｎｓｃｈｅｎｗｅｒｋ）
这个定义，这种表述方式，像道闪电，一下子照亮了我的内心世界。这是我在６年求学时期读到的最有启蒙价值的格言之一。我说过，格言在本质上是智慧，不是知识。克罗纳克这句话说出了数学哲学最高智慧，而且是言有尽意无穷。后来，模仿他这种说法，我说：亲爱的上帝创造了全部音阶（即全音、半音和其他音程），其他的一切都是作曲家的劳作；亲爱的上帝创造了时间、空间和物质，其他的一切都是物理学家的劳作。
十七世纪德国伟大数学家和哲学家莱布尼茨的智慧也有力地启蒙了我。按他的天才本质，他是一位逻辑学家。他善于用少数几条法则——这便是形成逻辑的思路——去把纷然杂陈的现象世界整理出一个秩序井然的和谐。（比如一套微分公式）莱布尼茨有一句名言使我终生受益，发出一个大大的惊叹号：
“最伟大的画家也不可能随手画出一条无可指责的、像每个使用直尺的人都可以画得出来的那样的直线。”
所以制定出一套微分学条例便是莱布尼茨思维方式或他的“哲学世界观”的必然产物。章学诚（１７３８－１８０１）有言：“有天地之象，有人心营构之家”。莱布尼茨制定的一整套（共９条）微分学条例正是“人心营构之象”。他把它的形式搞到这样尽善尽美，以致于从１６８４年到今天（２００３年），它都没有改变。以下是其中两条：
（ｃｖ）＝ｃ。
（ｕｖ）＝ｕ＋ｖ。
读到莱布尼茨的思维方式，我只有哭。我是以哭代歌。
明末清初贺贻外（江西永新人）削发逃入深山。他主张诗歌要像天地间的“雄风”，要“凄怆”，要“以哭为歌”。１９５９年春，也是在数学系图书馆我从一本德文数学杂志上读到一篇纪念德国伟大生理学家、物理学家和数学家赫姆霍茨（Ｈ．ｖｏｎ Ｈｅｌｍｂｏｌｔｚ， １８２１－１８９４）的文章，其中着重提示了他的研究路线或探索轨迹，使我深受启发。
他因家境贫寒，只好通过当军医的途径去获得接受高等教育的机会。因为当军医是公费的。所以他的科学研究生涯的起点是生理学。他解剖了眼睛和耳朵，探索这两大感觉器官的功能和机制。
不久他便发现，研究人的视觉和听觉的生理机制一定要研究光学和声学，否则便很难深入下去。
这样便引导他去敲开物理学的大门。
后来他�