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一平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。把一个平面（或立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是我国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。
在数学证明中成功地运用无穷小分割和极限思想，是刘徽最杰出的贡献。《九章算术》提出圆面积公式S＝l/2·r（S为圆面积，l为圆周长，r为半径）。为证明这个公式，刘徽从圆内接正六边形S6（称为六觚）开始割圆，依次得圆内接正十二边形S12，圆内接正二十四边形S24，……S6·2的n次方……所有S6·2的n次方＜S，但“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这相当于：
然后他证明
而
。于是刘徽就把圆化为与之合体的内接正多边形来求面积，再把这个正多边形分割成以每边为底以圆心为顶点的无穷多个小三角形之和，所谓“觚而裁之，每辄自倍。
故以半周乘半径而为圆幂“。从明证明了S＝l/2·r。刘批评了以往”圆径一而周三“的错误，指出此公式中周径是”至然之数“，即圆周率π。他以此公式为基础，求出了π的两个近似值157/20和3927/1250，在中国首次创立了求圆周率的科学方法，奠定了我国圆周率研究在世界长期领先的基础。
刘徽注关于体积问题的论述已经接触到现代体积理论的核心问题，指出四面体体积的解决是多面体体积理论的关键，而用有限分割和棋验法无法解决其体积。为了解决这个问题，他提出了一个重要原理“邪解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也“，今称为刘徽原理。刘徽平分壍堵的长、宽、高，通过出入相补，可以证明在壍堵的3/4中上述原理成立；而剩余的1/4与原壍堵的结构相同，可以重复上述分割，又可以证明其3/4中这个原理成立。这个过程可以无限继续下去，”半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？“完成了该原理的证明。由壍堵的体积公式v＝1/2abh，便证明《九章算术》提出的阳马体积公式v＝1/3abh，鳖臑的体积公式v＝1/6abh。近代数学大师高斯、希尔伯特才讨论这个问题，已是近100多年以来的事。
刘徽注多方面表述了今天称之为祖暅之原理的命题，并由此证明了《九章算术》中球体积公式的错误。他设计了牟合方盖，指出球与牟合方盖的体积之比是π∶4，只要求出后者的体积就可以求出球体积了。他尽管没能求出牟合方盖的体积，但诚恳地表示“以俟能言者”，表现出一位伟大学者的坦荡胸怀。这个问题后来由祖冲之父子彻底解决，李淳风注释《九章算术》时详细记述了祖氏的方法。
刘徽注中还有不少有价值的成就。如对开方不尽，提出继续开方，求其“微数”，以十进分数逼近无理根，开十进小数之先河；他还认识到不定方程有无穷多组解，等等。刘徽注形成了一套数学体系，他说“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。”把数学看作一株枝条虽然分开但本干相同的大树。他认为数学是“规矩”与“度量”亦即空间形式与数量关系的统一。基于这些深刻的认识，他的证明除个别失误外，都论点明确，论据充分，条理清晰，推理严谨；而且大都使用演绎推理，没有循环论证。是严格的数学证明。有了刘徽的证明。《九章算术》的公式解法，才建立在真实可靠的基础上。
《九章算术》及其刘徽注，以杰出的数学成就，独特的数学体系。不仅对东方数学，而且对整个世界数学的发展产生了深远的影响，在科学史上占有极为重要的地位。它的出现，标志着从公元前1世纪开始，中国取代古希腊成为世界数学的中心，为此后中国数学领先世界1500多年奠定了基础。今天，随着计算机的出现和发展，它所蕴含的算法和程序化思想，仍给数学家以启迪。吴文俊先生指出“《九章》所蕴含的思想影响，必将日益显著，在下一世纪中凌驾于《原本》思想体系之上，不仅不无可能，甚至说是殆成定局，本人认为也绝非过甚妄测之辞。”
七十：《齐民要术》
“惠民之政，训农裕国之术”
《齐民要术》是东魏（531…550）农学家贾思勰（青州齐郡益都，今山东寿平县人，生平不详）约在6世纪30年代至40年代间写成的一部农学名著。记述了黄河流域下游地区，即今山西东南部、河北中南部、河南东北部和山东中北部的农业生产，包括了农、林、牧、渔、副等部门的生产技术知识，堪称为我国古代的一部农业百科全书。
《齐民要术》共10卷92篇，约11余万字，卷端另有“序”和“杂说”。“杂说”系后人掺入之作。“序”是全书的总纲，包括著者的指导思想、内容范围、资料来源和写作目的。
著者在“序”中援引大量经典和历史故事，反复阐发“食为政首”的重农思想，强调“治国之本，在于安民；安民之本，在于足用。”把农业生产提到治国安民（“农为邦本”）
的高度上来认识。只有农业生产发展了，人民的温饱问题解决了，才能“国富民安”。
“食为政首”，是贯穿于《齐民要术》的主导思想。它规定了该书的写作范围和内容，甚至章节安排的次序。正如“序”中所说“起自农耕，终于醯醢，资生之业，靡不毕书。”从农作物栽培，直至制醋作酱，凡与民生直接相关的生活资料的生产，没有不详细记载的。
《齐民要术》的内容极为丰富。卷一，“耕田”、“收种”（以上栽培总论）、“种谷”各1篇；卷二，谷类、豆、麦、麻、稻、瓜、瓠、芋等粮食作物栽培各论13篇；卷三，“种葵”（蔬菜栽培总论）、蔓菁等各论12篇；卷四，“园篱”、“栽树”（园艺总论）各1篇，枣、桃、李等果树栽培12篇；卷五，栽桑养蚕1篇，榆、白杨、竹以及染料作物10篇、伐木1篇；卷六，畜、禽及养鱼6篇；卷七，货殖、涂瓮各1篇（酿造总论）、酿酒4篇；卷八、九，酿造酱、醋，乳酪、食品烹调和储存22篇，煮胶、制墨各1篇；卷十，“五谷果蓏菜茹非中国（北魏疆域以外地区）物产者”1篇，记热带、亚热带植物100余种，野生可食植物60余种。综括了农艺、园艺、造林、蚕桑、畜牧、兽医、选种育种、酿造、烹饪、农产品加工储存，以及备荒、救荒，基本上属于广义的农业范畴，反映了当时农、林、牧、渔、副多种经营方式亦已具备了较为完整的规模。
“序”中说它对“商贾之事，阙而不録”。其实，书中不録的，是那种弃农经商，（“舍本逐末”），周流天下，买贱鬻贵，积累资本，重利盘剥农民的富商巨贾之事。然而，它对季节性较强的农村集市商业活动却非常重视，书中“杂说第三十”对谷类、葵、榆诸篇有多处记述。集市所售之物多为农民生产的剩余物，或利用农闲制作的一些手工制品（椀、车毂等）。物品售罄，季节一过，售者又都回到农业生产上去，不致因此而影响农业生产。基本上反映了当时人民所需“莫非种植之物”、“钱货无所交流”的社会实际。
全书的结构体例也相当严密，每篇由篇题、正文和经传文献组成。根据不同作物，所述详略不一。篇题下有注文（援引历史文献和亲自调查），相当于“释名”、“集解”，包括异名、别名、品种、地方名产、引种来源及其性状特征；正文则为实际调查和亲身体验（“爰及歌谣，询之老成，验之行事”），这是各篇的主体；篇末则援引文献以补充论证正文，包括重农思想、经营管理、生产技术、农业季节、农业地理、农产品贮存与加工。据统计，书中援引经传160余种（一说180余种）。可以说是历史经验和当代生产技术实践相结合的一部农业论著。
《齐民要术》规模之庞大、内容之丰富、结构之严谨，都远远超过以往。《吕氏春秋·上农》等四篇，虽说不算是农学专著，但内容连贯倒也自成一体，基本上属于栽培总论性质。
西汉《汜胜之书》（公元前1世纪）史称18篇，存者不过3000余字，总结了关中地区的耕作技术，也只限于种植业。东汉崔寔（？…170年）《四民月全》虽已涉及农、林、牧、副，却略于技术而重于农事之安排，不过是一部月全性质的农书。
《齐民要术》则是在前代农学的基础上，全面、系统地总结了魏晋以来400年间黄河流域旱地农业生产的新经验和新成就。
《齐民要术》的最大功绩是：其一，它全面、完整地总结了以耕…耙…耱为主体，以防旱保墒为中心的旱地耕作技术体系，以增进地力为中心的轮作倒茬、种植绿肥等耕作制度，以及良种选育等项措施。更加丰富和发展了我国精耕细作的传统思想；其二，首次系统地总结了园、林经验，林木的压条、嫁接等繁育技术；畜禽的饲养管理、外形鉴定和良种选育；农副产品加工和微生物利用以及救荒备荒的措施。填补了传统农学的空白，为后来农学的发展奠定了良好的基础。毫无疑义，《齐民要术》的出现，是我国传统农学发展的一个重要标志。
《齐民要术》之所以能作出如此重大的贡献，是与当时历史条件和贾思勰的文化素养、科学态度分不开的。
黄河流域是我国农业发源地之一，旱地农业生产一直居于领先地位。虽说东汉以后的200年间农业生产和社会经济因长期战乱而累遭破坏，但农业生产工具的改进和生产技术的提高却未因此而中辍。以耕作为例，魏晋时期，“铁齿”（人字耙）和“耱”（无齿耙）的出现，以及由此而形成的耕…耙…耱结合的耕作技术，提高了旱地防旱保墒的能力，到北魏时，又积累了一整套针对不同季节、不同墒情而进行的耕…耙…耱经验，从而形成了更为完整的耕作体系，不仅增强了防旱保墒的能力，而且增进了土壤肥力，提高了产量。
生产技术的提高和生产经验的积累，为贾思勰的写作提供了生动的资料和内容。
贾思勰生活于北魏末期。青少年时期，正值孝文帝提倡经学，实行“文治”，深入汉化运动的高潮，孝文帝极力倡导农业，朝廷议政都以农事为首，令各州、郡、县官经常督促农业生产，做到“无失农时”，违者免官，甚至“一门之内，终身不仕”。太和九年（485年）又实行均田制，把无主荒地分给无地或少地农民耕种，使“土不旷墱*”，规定种植五谷瓜果蔬菜，植树造林，解决人民吃饭问题。
贾思勰对经学颇有造诣，既受历代重农思想之影响，又得到“太和之风”的熏陶。因此，他对农业生产非常重视，在他任瀛州（今河北省保定市及其以南）高阳郡（保定市一带）太守时，勤于职守，督导农桑，对瀛州及其邻近州县的作物进行深入调查。他特别重视良种的推广，这是种植物增产的关键。他对80余种粟类品种的性状特征的分析，是他多年调查的结果。及至后来他退居田园，更是亲自到稼穑、桑果、畜禽甚至场院整治等生产活动中去观察和分析农业生产技术的每一个环节，并在实践中加以验证。如，济州以西（现在鲁西）的长辕犁不如齐人的尉犁那么“柔便”；蚕茧用盐杀蛹法比曝晒的要好。正是由于贾思勰坚持调查，坚持实践和坚持科学分析的求是作风，才使《齐民要术》植根于生产实践的基础之上而赋予它以科学的生命力，至今仍具有重要的历史意义。
“序”中说他著书目的只是“晓示家僮”。如果联系当时（主要是肃宗灵太后擅政）的社会现实来看，他在“序”中猛烈抨击当政者的骄奢，无不透露着著者爱国爱民之心，也透露了他著书的目的是在劝导政府和官吏重视农业生产，为“平民”谋求“资生之业”，让人民安居乐业，使国家强盛起来的强烈愿望。
《齐民要术》一经问世（初为手抄本传布），便引起历代政府之重视，北未朝还规定“非朝廷人不可得”。明代王廷相（1474…1594年）称它为“惠民之政，训农裕国之术”。唐、宋以来出现不少农书，无不以它为范本，其中，元《农桑辑要》、王祯《农书》、明徐光启《农政全书》、清《授时通考》均受其影响。《齐民要术》在国外也具有深远的影响。唐宋时期，传到邻国日本，引起日本学者的重视和研究；大约在19世纪传到欧洲，英国学者达尔文（1809…1882）在其名著《物种起源》和《植物和动物在家养下的变异》中就参阅过这部“中国古代百科全书”，并援引有关事例作为他的著名学说——进化论的佐证。在当今欧美国家面临农业危机的状况下，《齐民要术》更是引起欧美学者的极大注视和研究，说它“即使在世界范围内也是卓越的、杰出的、系统完整的农业科学理论与实践的巨著。”
七十一：《梦溪笔谈》
中国科技史上的里程碑
在中国历史上难以胜计的笔记小说中，知名度最高，影响最巨，传播最广者，无过于《梦溪笔谈》一书了。作者沈括（1031…1095年），字存中，钱塘（今杭州）人，北宋治平元年（1064年）进士，曾任负责天文、历法的提举司天监，负责兵器制造的判军器监。负责全国财政的权三司使，负责边关政务和防务的知延州（今陕西延安）、兼鄜延路经略安抚使，又曾出使辽国，并曾多次巡察地方政务，相度农田水利，后因边事获罪被贬。他博学多才，为一代学问大家，史称：“博学善文，于天文、方志、律历、音乐、医药、卜算。无所不通，皆有所论著。”（《宋史》本传）本书乃集其一生学识和见闻之精萃而撰成，因成书于梦溪园，故名《梦溪笔谈》。
其最初版本为30卷，�